Enigme des deux enveloppes

[invité576543]

(...)

Je ne suis pas trop d'accord non plus avec la distinction "extra-mathématique" vs. "mathématique".

Le point de vue sur les proba que j'ai développé est celui de l'interprétation bayesienne de la théorie des probas, qui n'est pas celle utilisée par le mathématicien de profession.

Dans l'approche bayésienne, seules les probas conditionnelles ont un sens, et il est parfaitement légitime (et "mathématique") de parler de la probabilité, avant ouverture, de ce qu'il y a dans les enveloppes, proba que l'on noterait p((E1=x, E2=y) | K) où K est "l'ensemble des informations disponibles".

(Autre aspect important,, dans l'approche bayésienne, une proba n'est une propriété de l'objet, mais une propriété de l'information disponible sur l'objet à un moment et pour un décideur donnés.)

L'énoncé (qui fait partie de K) permet par exemple d'affirmer diverses choses dont, par exemple,

(x<>2y) et (2x<>y) => p((E1=x, E2=y) | K) =0

et

p((E1=x, E2=y) | K) = p((E1=y, E2=x) | K)

et la question posée est facilement formalisable, impliquant les fonctions (x, y) -> p((E1=x, E2=y) | K et E1=100)

On ne peut pas conclure parce que p((E1=x, E2=y) | K) n'est pas donnée plus complètement.

Dire que c'est "extra-mathématique" amène à faire planer le doute que les maths soient un outil utilisable, mais surtout jetterait une lueur curieuse sur tout problème où il manque une donnée pour décider! Ne pas savoir décider si 100a est plus grand ou plus petit que 50 n'est pas vraiment imputable à des faiblesses des mathématiques, et personne ne va dire que "a est une donnée extra-mathématique".

Du coup, je n'ai pas de problème avec le texte, sauf avec la première partir (notion d'aléatoire) et cette notion d'extra-mathématique (que je préfère voir comme "pas dans l'énoncé").

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Par ailleurs, la réponse 2 pourrait, vaguement, être acceptable (en plus de la 1, qui est clairement acceptable) si on la comprend comme suit "les deux stratégies consistant, respectivement à garder l'enveloppe sans s'occuper du montant lu, et à changer d'enveloppe sans s'occuper du montant lu, sont équivalentes".

Cordialement,
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[invité576543]

je ne savais pas qu'en faisant des probas, on pré-supposait ce que l'animateur télé avait dans la tête.

C'est pourtant exactement l'enseignement de l'approche bayésienne des probas : il est impossible de parler de proba sans des pré-suppositions, ce que les bayésiens appelle le "prior", que j'ai noté K et qui apparaît comme condition (éventuellement avec d'autres) dans l'expression de toute probabilité.

mais il est certain qu'en pré-supposant plein de truc , on peut arriver à toutes les conclusions que l'on souhaite.

C'est exactement l'opposé de l'enseignement de l'approche bayésienne, qui est qu'en ignorant les pré-suppositions, qui existent nécessairement même si non conscientes, on peut arriver à arriver à toute conclusion que l'on souhaite avec un calcul de probabilité.

C'est pourquoi les bayésiens mettent le prior partout (ce qui est clairement redondant): pour ne pas oublier que la proba est conditionnelle aux hypothèses a priori.

Cordialement,

[invité576543]

Ce n'est pas parce que l'on arrive à la solution :"impossible de savoir si l'on doit garder la 1ère enveloppe ou ouvrir la 2ème"(que j'ai montré dans mon précédent message) que l'on doit inventer d'autres hypothèses pour être capable de trancher sur la question, ou alors ce n'est plus le même problème.

Donc, si je te demande si 100a est plus grand que 50, on ne doit pas "inventer" la valeur de a pour être capable de répondre...

Sans ajouter d'autres hypothèses la solution est la réponse 2.

Peut-être, mais seulement au sens que j'ai indiqué : les deux stratégies "garder inconditionnellement" et "échanger inconditionnellement" sont équivalentes. Mais cela n'implique absolument pas qu'elles offrent le meilleur gain, comparé à des stratégies conditionnelles.

Si on en ajoute, en effet c'est un mélange des réponses 1 et 2.

Non. Si on ajoute les données manquantes, soit la 3 soit la 4 est valable pour la valeur montrée "100". (Et la meilleure stratégie ne peut pas être inconditionnelle, du moins si l'espérance mathématique de x suivant la loi a priori p(E1= x et E2=y |K) est finie.)

Cordialement,

[invite51d17075]

les amis,

l'animateur aux dents blanches m'a bien tournicoté la tête.
alors j'ai une solution scientifiquement valable mais extra-mathématique qui fonctionne.
je lui met un bourre-pif et je prend les deux enveloppes.

un, ça le calme, et deux je maximise mes gains !!

j'ai bon , là ??

pardon d'en rire un peu

[invite51d17075]

mille excuses, notamment à Michel.

je crois que je t'avais mal ou trop vite lu.
mais je pense mieux comprendre l'ambiguité de la question.
et pourquoi tu parles de pb avec l'ennoncé.

la question "semble" être :
tu as 100 et choisi entre garder 100 ou tirer 50 ou 200.
dans ce cas je re-itère ma proposition j'essaye l'autre enveloppe.

sauf que ce n'est pas extrapolable statistiquement.
a moins que ce soit toujours le cas, tj 100 dans la première enveloppe.
mais dans ce cas, la première somme ne serait pas aléatoire, et ce ne serait pas la même question.

en revanche, si la première enveloppe contient une somme x inconnue et variable, il n'y a aucun moyen d'optimiser ses gains.
on peut gagner 100 fois 10 et "perdre" 5000" en une fois.

donc le piège de la question, c'est de chercher à faire des stats en presentant un exemple concret, mais qui n'est pas extrapolable.

j'espère que sur ce coup, je n'ai pas tout faux.
en ex-matheux, je crois toujours à l'ennoncé initial, mais il m'a piégé.

[invité576543]

donc le piège de la question, c'est de chercher à faire des stats en presentant un exemple concret, mais qui n'est pas extrapolable.

Oui, c'est ça.

La question qui a mathématiquement un sens c'est celle de la stratégie générale, qu'on peut décrire avant l'ouverture de l'enveloppe; pas le cas restreint à la valeur 100.

Et les possibilités pour la stratégie générale ne sont pas limitées à "garder inconditionnellement" et "changer inconditionnellement".

Et c'est bien au sujet de la question de la stratégie générale que je vois l'énoncé comme incomplet.

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Il y a de nombreux cas de "paradoxes" présentant le même type de subtilité. Je pense par exemple au cas suivant:

Un homme très riche fait le testament suivant : il a choisi 20 personnes, qui ne se connaissent pas et ne peuvent pas communiquer entre elles, et auxquelles est proposé l'héritage. Si une et une seule personne accepte, alors elle hérite, sinon l'argent est donné à une organisation charitable. Vous êtes l'une des 20 personnes. Que choisissez-vous? Accepter ou refuser?

Un tel énoncé présente le même "piège". Il donne l'impression, d'une certaine manière conforme à une certaine évidence, qu'il n'y a que deux stratégies possibles. (Il n'y a bien que deux actions possibles, mais la notion de stratégie est différente.)

Mais ce n'est pas le cas: il y a bien une stratégie optimale, au sens qui optimise le gain si elle est appliquée identiquement par les 20 personnes. Et ce n'est pas "accepter inconditionnellement" ou "refuser inconditionnellement" (qui ont clairement une espérance de gain de 0, si appliquée identiquement).

Cordialement,

[invitebdf515f4]

J'ai fait l'effort de formuler ma compréhension personnelle du problème.
Je ne veux pas relancer le sujet ... d'ailleurs je ne répondrais plus.
Je me dis que, peut-être, ma formulation permettra à certains de mieux comprendre le problème posé par cet énoncé ... même si je sais qu'il y a de nombreuses imprécisions dans mon analyse.

Intro
=====

Si on considère l'énoncé comme un problème de probabilité académique, la conclusion à laquelle on devrait
arriver est qu'il est mal posé car incomplet. Je ne recommande donc pas à un enseignant de proposer ce
problème à ses élèves. A moins, éventuellement, de le proposer dans un exercice consistant à détecter les
énoncés incomplets. Dans ce cas, d'ailleurs, l'énoncé est assez intéressant, car pour un oeuil non averti,
il donne l'impression d'un énoncé bien posé.

Si on considère l'énoncé, non pas comme un exercice d'application du calcul de probabilités, mais comme une
question réelle alors, on peut formuler une réponse raisonnable à la question posée. Pour justifier cette
réponse, on utilisera des hypothèses ad-hoc, permettant de s'affranchir du caractère incomplet de l'énoncé.

La solution que je retiens
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Je considère ce problème comme un problème réel, et je me met à la place du joueur. Alors, ma réflexion sera:
Est-ce que les 100€ que j'ai obtenus sont plutôt supérieurs ou plutôt inférieurs à la moyenne des sommes qui
sont généralement rencontrée dans ce type de jeu ?
Si je considère que c'est plutôt inférieur à la moyenne, je change.
Si je considère que c'est plutôt supérieur à la moyenne, je garde.
En l'occurence, en 2009, 100€ dans un jeu de ce type, c'est plutôt inférieur à la moyenne, donc je change.

Cette réponse est décevante car elle s'appuie sur un élément d'information (la moyenne des sommes généralement
rencontrées dans ce type de jeu), qui ne fait pas explicitement partie de l'énoncé. En plus, j'ai de la chance,
car 100€ est une somme plutôt petite par rapport aux sommes effectivement rencontrées dans ce type de jeu. Mais,
si on me pose la question avec 1000€ par exemple, là, je suis incapable de choisir car je soupconne que la
moyenne des sommes rencontrées dans ce type de jeu doit être de l'ordre de 1000€.

Si on me demande la stratégie à adopter d'une manière générale, quelle que soit la somme sur laquelle on tombe
dans la permière enveloppe, je répondrais ceci: J'estime qu'en moyenne, en 2009 et en France, on peut espérer
gagner 1000€ dans ce genre de jeu télévisé. Donc, si la somme dans la première enveloppe est inférieure à
1000€, il faut changer, sinon, il faut garder.

Encore une fois, j'ai sorti de mon chapeau une somme (en réalité une répartition des sommes possibles) que
j'utilise pour conclure. Cette solution n'est vraiment pas satisfaisante ... mais c'est ma meilleure
proposition !

Ce n'est pas de ma faute si l'énoncé ne permet pas une meilleure conclusion (en fait, si, c'est ma faute, c'est
moi qui l'ai pondu).

Démarche générale de résolution
============================== ===

Dans les exercices de probabilité scolaires, l'énoncé permet de décrire un espace de probabilités sur lequel
on définit une expérience aléatoire.

Un espace de probabilités peut être décrit explicitement dans l'énoncé, ou bien il peut découler d'hypothèses
raisonnables liées à des informations implicites dans l'énoncé. Dans le cas des énigmes, on est souvent amené
à poser des hypothèses raisonnables pour définir l'espace de probabilités.

Ensuite, il faut décrire l'expérience aléatoire qui est menée sur cet espace de probabilités. Enfin, on
peut faire un calcul de probabilités académique.

Démarche proposée
=================

Tout d'abord, considérons l'ensemble -théorique- de toutes les paires d'enveloppes que les organisateurs du
jeu pouraient éventuellement proposer. Chaque paire d'enveloppe a une probabilité d'être retenue. Chaque
paire d'enveloppe possible contient une somme et son double. La somme de toutes les probabilités des
différentes paires d'enveloppes est égale à 1.

A partir de cet espace, l'expérience aléatoire est la suivante :
- une paire d'enveloppe est choisie au hasard par les organisateurs dans l'ensemble des paires possibles
(en tenant compte des probabilités associées),
- puis une des deux enveloppes de la paire est choisie au hasard (par pile ou face, donc équiprobabilité),
- enfin, on constate que cette enveloppe contient 100€.

A ce stade, on sait que la seconde enveloppe contient soit 50€ soit 200€. Appelons P la probabilité pour que
la seconde enveloppe contienne 50€. La probabilité pour que la seconde enveloppe contienne 200€ est donc
(1-P). La probabilité P peut être calculé à l'aide d'une probabilité conditionnelle : P est la probabilité pour
que la seconde enveloppe contienne 50€, sachant que la première enveloppe contient 100€.

Une fois que P est connue, on peut calculer l'espérance de gain du joueur s'il change d'enveloppe:
E = P * 50€ + (1-P) * 200€

Si E est supérieur à 100€, alors, il faut changer d'enveloppe, sinon, il faut garder la première.

Détermination de l'ensemble des paires possibles
============================== ==================

C'est le noeud du problème. Comment déterminer l'ensemble des paires d'enveloppes possibles et leurs
probabilités respectives ?

On peut, par exemple, choisir au hasard un premier montant en euros, sans les centimes, en se fixant un
minimum m et un maximum M. Cela revient à choisir un nombre entier dans un intervalle [m, M] en utilisant une
répartition équiprobable. Ensuite, on place la somme trouvée dans une enveloppe, et le double de celle-ci dans
l'autre. Ok, pourquoi pas ? Mais, pourquoi pas autrement ? Et puis, quelles valeurs de m et M choisit-on ?

Il est clair que suivant le choix de m et M que l'on fait, le résultat final (la valeur de P) sera différente.

De manière plus réaliste peut-être, on peut choisir les sommes en jeu en utilisant une répartition en cloche.
C'est-à-dire qu'on peut avoir un nombre infini de valeurs possibles, les petites valeurs et les grandes valeurs
ayant des probabilité plus faibles de sortir que les valeurs intermédiaires. En effet, la probabilité pour que
les organisateurs aient mis 1€ dans une enveloppe est très faible, de même que la probabilité qu'ils aient mis
1 milliard d'euros. Donc, une répartition en cloche semble adaptée. D'accord ... mais où place t-on le sommet
de la courbe en cloche ? C'est délicat. L'énoncé ne nous dit rien là dessus.

Suivant le choix de la valeur moyenne de la courbe en cloche, le résultat final (la valeur de P) sera
différente.

Bref, l'énoncé est trop imprécis pour pouvoir choisir une répartition des sommes possibles sans faire des
hypothèses arbitraires ... qui seront seules responsables du résultat trouvé.

Solution de repli, inacceptable
============================== =

Puisqu'on ne peut pas, à partir de l'énoncé, choisir une répartition des sommes en jeu, tachons de s'en passer.

Puisque rien n'est précisé, on peut prendre l'hypothèse raisonnable que le 50€ et le 200€ sont equiprobables.
Dans ce cas, l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est E = 1/2 * 50€ + 1/2 * 200€ = 125€.
Donc, avec ce raisonnement, il faut changer.

Pourquoi est-ce inacceptable ?

Tout simplement parceque l'hypothèse raisonnable que 50€ et 200€ sont équiprobables ne peut pas être jugée
raisonnable dans cet énoncé, car elle consiste à ignorer purement et simplement que d'autres valeurs que 100€,
50€ et 200€ sont possibles dans ce jeu. Or, implicitement dans l'énoncé, on comprends qu'on pourrait rencontrer
d'autres valeurs. Donc, cette hypothèse n'est pas conforme à l'esprit de l'énoncé.

Pour appuyer l'idée que cette hypothèse n'est pas raisonnable, essayez de trouver une répartition des sommes
en jeu qui garantisse la règle suivante : quelle que soit la somme trouvée dans la première enveloppe, les deux
valeurs possibles dans la seconde sont équiprobables. Personnellement, j'ai cherché ... je n'ai pas trouvé.
Je pense qu'il est impossible de trouver une seule répartition des sommes en jeu qui garantisse cette règle.
Donc, supposer que, quelle que soit la répartition des sommes en jeu, cette règle sera respectée ... c'est
ignorer qu'en réalité, aucune répartition des sommes en jeu ne permet de respecter cette règle.

Autre solution de repli, inacceptable aussi
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On présente aussi une autre résolution qui est la suivante:

Appelons X la plus petite des sommes se trouvant dans les enveloppes. Une enveloppe contient X, l'autre 2X.

Si le joueur ne change pas d'enveloppe, il a une chance sur deux d'obtenir l'enveloppe contenant X et une
chance sur deux d'obtenir l'enveloppe 2X. Donc, l'espérance de gain du joueur, sans changer d'enveloppe est:
E1= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X

Si le joueur change d'enveloppe, ses chances d'obtenir finalement l'enveloppe contenant X ou 2X ne sont pas
modifiée, cela reste du hasard avec equiprobabilité. Donc, l'espérance de gain du joueur, en changeant
d'enveloppe est:
E2 = 1/2 * 2X + 1/2 * X = 3/2 * X

Puisque E1=E2, les deux stratégies sont équivalente.

Cette résolution ne peut pas être jugée acceptable car elle ne tiens pas compte de la valeur trouvée dans
l'enveloppe qui a été ouverte. Cela revient à affirmer que la valeur trouvée dans la première enveloppe
n'apporte aucune information au joueur. Cela serait incontestablement vrai si le joueur n'ouvrait pas la
première enveloppe. Mais, est-ce raisonnable de dire que la découverte de la valeur dans la première enveloppe
n'apporte aucune information au joueur ? Affirmer cela, c'est affirmer par exemple que les sommes 1 centime
d'euro et 1 milliard d'euro ont autant de chance l'une que l'autre d'être au dessus ou en dessous de la moyenne
des sommes rencontrées habituellement dans ce type de jeu. C'est clairement inacceptable. Dans un jeu de
ce genre, il est évident que 1 milliard d'euro a beaucoup plus de chance d'être au dessus de la moyenne que 1
centime d'euro. Donc, l'hypothèse n'est pas conforme à l'esprit de l'énoncé.

Pour appuyer l'idée que cette hypothèse n'est pas raisonnable, essayez de trouver une répartition des sommes
en jeu qui garantisse la règle suivante : quelle que soit la somme trouvée dans la première enveloppe, cette
somme a autant de chance d'être au dessus que en dessous de la moyenne des sommes possibles. Je n'ai pas
cherché ... mais je soupconne que c'est impossible.

Conclusion
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L'énoncé étant incomplet ... on est obligé d'ajouter des hypothèses arbritraires pour formuler une réponse.
Si on ne veut pas le faire, alors, la réponse est : il n'y a pas de réponse.

[invité576543]

(...)

Je trouve ce résumé très bien; il correspond à la compréhension que j'en ai aussi.

Bravo pour l'effort mis à clarifier aussi bien le sujet.

Pour appuyer l'idée que cette hypothèse n'est pas raisonnable, essayez de trouver une répartition des sommes en jeu qui garantisse la règle suivante : quelle que soit la somme trouvée dans la première enveloppe, les deux valeurs possibles dans la seconde sont équiprobables. Personnellement, j'ai cherché ... je n'ai pas trouvé.

Je pense qu'il est impossible de trouver une seule répartition des sommes en jeu qui garantisse cette règle.

On peut montrer qu'il n'existe pas de répartition ayant à la fois cette propriété et une espérance de gain finie (cf. wiki anglais). Il existe des solutions avec espérance infinie, mais c'est clairement irréaliste d'imaginer qu'on vous propose un tel jeu

Cela ne change donc pas vraiment les conclusions du résumé.

Cordialement,