Enigme des deux enveloppes

[invitebdf515f4]

Bonjour,
Voici une énigme "faussement simple" qui me donne mal à la tête.

J'ai déjà posté cette énigme sur plusieurs forums. J'ai obtenu une floppée de réponses, évidemment contradictoires. Une personne propose une réponse "intuitive", un "soit disant matheux" le contredit avec des arguments prétendument imparables mathématiquement, puis un "matheux et demi" vient contredire le premier. Personnellement, j'ai bien du mal à différencier le matheux numéro 1 du matheux numéro 2.

Je sais qu'il y a des pages Web (dont Wikipédia) qui abordent ce sujet, mais sans donner de réponse claire à cette version précise de l'énigme. J'ai bien sûr mon avis sur la question, mais je préfère ne pas l'évoquer ... car je suis bavard.

Voici l'énigme:

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Alors que vous vous promenez tranquillement dans la rue, un animateur télé vous aborde. Il a en main deux enveloppes cachetées.

Il vous dit : "Voici deux enveloppes contenant de l'argent. L'une des deux contient une somme double de l'autre."

Puis, il lance une pièce de monnaie, très haut, tournant très vite et dit :
"Si la pièce tombe sur face, je vous donne l'enveloppe 1. Sur pile, je vous donne l'enveloppe 2."

La pièce tombe sur face et il vous tends donc l'enveloppe 1. Vous l'ouvrez fébrilement et vous découvrez, ravi, 100 Euros.

L'animateur dit: "Bravo, vous venez de gagner 100 Euros. Mais, ce n'est pas fini ... je vous donne la possibilité de gagner davantage encore. Vous pouvez soit partir avec les 100 Euros, soit abandonner les 100 Euros et ouvrir l'autre enveloppe ... dont le contenu sera a vous définitivement !"

Question : Que doit faire le joueur pour maximiser son espérance de gain ?
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Je pense que, mathématiquement, on doit pouvoir avoir 4 réponses possibles:

Réponse 1:

Le problème ne se prête pas à un traitement mathématique. Les mathématiques n'ont donc pas de réponse à formuler. Seuls des éléments extérieurs au problème posé permettraient au joueur de conclure, comme par exemple l'estimation des montants généralement alloués à ce type de jeu télévisé, ou bien des critères purement psychologiques comme l'envi de tenter sa chance ou la peur de perdre ce qu'on a déjà. Bref, la question posée est à classer dans la catégorie des problèmes du type "Age du capitaine", sans réponse mathématique claire.

Réponse 2:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique qu'aucune des deux stratégies ne permet au joueur d'augmenter son espérance de gain. Les deux stratégies de jeu (changer d'enveloppe ou garder la première) sont équivalentes.

Réponse 3:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à conserver l'enveloppe reçue.

Réponse 4:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à changer d'enveloppe.

Pouvez vous m'aider à choisir entre ces 4 réponses ?
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[ansset]

bonjour,
je repondrais la response 4),

à moins qu'une subtilité m'échappe.
si j'ai 100 dans la main gauche , il reste 2 possibilités 50 ou 200.
si on part du principe qu'elles sont equi-probables, alors mon gain statistique moyen serait de 125, soit supérieur à 100.

donc, je re-jouerais à chaque fois.
sauf .... si je gagne au loto, là je garde la belle enveloppe et j'embrasse Nagui !!

[invitebdf515f4]

Oui, tu as aussi les deux autres réponses suivantes, entre autres.

Prétendue résolution A : Exploitation de la symétrie du problème
Par symétrie, le choix du joueur ne fait qu'inverser le tirage aléatoire du départ. Donc, cela n'augmente pas ses chance d'obtenir la bonne enveloppe.
Donc, le changement ne sert à rien => Réponse 2.

Prétendue résolution B: Calcul de probabilités
Appelons X la plus petite des sommes qui se trouvent dans les enveloppes. Une enveloppe contient X, l'autre 2X.

Si le joueur ne change pas d'enveloppe, il a une chance sur deux d'obtenir l'enveloppe contenant X et une chance sur deux d'obtenir l'enveloppe 2X.
Donc, l'espérance de gain du joueur, sans changer d'enveloppe est:
E1= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X

Si le joueur change d'enveloppe, ses chances d'obtenir finalement l'enveloppe contenant X ou 2X ne sont pas modifiée, cela reste du hasard avec equiprobabilité. Donc, l'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est:
E2 = 1/2 * 2X + 1/2 * X = 3/2 * X

Puisque E1=E2, les deux stratégies sont équivalente => Réponse 2.

[ansset]

Oui, tu as aussi les deux autres réponses suivantes, entre autres.

Prétendue résolution A : Exploitation de la symétrie du problème
Par symétrie, le choix du joueur ne fait qu'inverser le tirage aléatoire du départ. Donc, cela n'augmente pas ses chance d'obtenir la bonne enveloppe.
Donc, le changement ne sert à rien => Réponse 2.

pas d'accord, ni avec ça, ni avec la suite.
la question n'est pas d'augmenter ses chances d'avoir la "bonne" enveloppe, mais de "maximiser" ses gains.

hors ta reponse serait la même si la deuxième enveloppe contenait potentièllement 100 fois la valeur de la première.

pour tes autres reponses, tu ne tiens pas compte que le joueur a "déjà" tiré une enveloppe, donc tu raisonnes en X ou 2X, mais pas en X versus X/2 ou 2X

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebdf515f4]

Ansset ok pour ta réponse.
Mais juste un détail de typo/convention : pour moi X, c'est "la plus petite des deux sommes en jeu".
Dans ta dernière phrase, X c'est "mon X" au début de la phrase et c'est la somme sortie au premier tirage (c'est-à-dire 100) euros en fin de la phrase.

STP evites de prendre la même notation pour les 2 ... sinon on mélange tout.
Pour les 100 euros, tu n'as qu'à noter S.

S => S/2 et 2S

C'est un détail ... mais on a vite fait de déraper !

[invitebdf515f4]

Pour être plus clair, ne dit pas : "tu raisonnes en X ou 2X, mais pas en X versus X/2 ou 2X"

Mais : tu raisonnes en X ou 2X, mais pas en S versus S/2 ou 2S

(Le diable est dans les détails)

[ansset]

OKI,

pardon, j'ai repondu trop vite, en esperant que tu ai quand même saisi mon argument.

a bientôt.

[invitebdf515f4]

Wikipedia Français et Anglais abordent le problème, dans une version un peu différente.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...eux_enveloppes

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

Dans la page française, ils évoquent la version que je présente ici, mais ils ne la traitent pas. Je cite: "En revanche le problème serait différent si une enveloppe était ouverte après le choix initial. Il faudrait dans ce cas tenir compte de la valeur pour évaluer la probabilité d'avoir initialement tiré le plus gros chèque."
Bref, il nous laisse en plan.

La version anglaise est plus complète et il me semble qu'elle traite bien de mon problème dans le paragraphe "A non-probabilistic variant". Mais, c'est en anglais et compliqué. Du coup, je n'arrive pas à comprendre.

Un bon lecteur anglais peut-il me dire quelle est la solution à ce problème qui est donnée par Wikipedia anglais (paragraphe "A non-probabilistic variant") ?

[ansset]

déjà les avertissements initiaux de wikipédia montre que cet article est largement dicuté voir disputé.

je ne cite que ça :
You switch because the expected return is higher than what you hold in your hand (). If you switch back, you will only have A. Therefore, you should stick with only one switch. The paradox then becomes a question of why should you choose one and then switch, when you could have just as easily chosen the other one first.

on deforme la question initiale.
elle est simplement , tu as 100 et tu as 2 possibilités.
garder 100 ou
gagner 50 ou 200 !

ce n'est pas du tout la même chose que d'avoir 2 enveloppes à choisir avec des sommes différentes inconnues dedans, et à choisir l'une ou l'autre !!

[invitebdf515f4]

Ansset ... je sais bien ... lit bien mon message précédent ... j'ai bien vu ce que tu dis.

Le problème abordé dans Wikipédia est différent, mais il y a UN PARAGRAPHE PARTICULIER, intitulé "A non-probabilistic variant" qui est, me semble t-il, proche ou identique au problème que je pose.

C'est à ce paragraphe que je faisais allusion bien sur ... mais je suis assez limité en anglais (ainsi qu'en math).

[invite60be3959]

Bonjour............

[invitebdf515f4]

Vaincent ... j'ai mis Bonjour dans mon premier post de la journée sur ce thread.
Je ne vais par répéter le "Bonjour" dans chaque post tout de même ... c'est un peu strict comme process non.
Au fait, bonjour vaincent.

[invité576543]

on deforme la question initiale.

Pourquoi?

elle est simplement , tu as 100 et tu as 2 possibilités.
garder 100 ou
gagner 50 ou 200 !

Certes. Mais la question posée ainsi est celle des probabilités à affecter au cas "50" et au cas "200".

L'idée que ces probabilités sont égales est fausse.

Avant le tirage, l'information sur les deux enveloppes est strictement symétriques, et l'égalité des probabilités est obligatoire.

Mais après l'ouverture d'une enveloppe, il n'y a plus égalité. Il faut évaluer la proba du couple (50,100) sachant que l'une des valeurs est 100, et la proba du couple (100, 200) sachant que l'une des valeurs est 100. Ce n'est plus symétrique, et on ne peut pas déduire de l'énoncé si les probas sont égales ou non (essentiellement par absence d'une loi de probabilité sur le couple même: quelle est la probabilité a priori --avant tirage-- de (100, 200)?).

[C'est bien expliqué dans le wiki anglais...]

Ce qui par contre certain est que la stratégie "quelle que soit la valeur de l'enveloppe ouverte, je choisis l'échange" ne peut pas être meilleure ou plus mauvaise que la stratégie "quelle que soit la valeur de l'enveloppe ouverte, je choisis de la garder". Ces deux stratégies ont nécessairement le même gain, parce que totalement indépendantes de l'information nouvelle fournie par l'ouverture de l'enveloppe.

Mais on ne peut rien conclure avec l'énoncé sur l'intérêt d'une stratégie du genre "si le montant est inférieur à x, j'échange, sinon je garde".

La réponse est donc la 1 (en enlevant les deux premières et la dernière phrase ).

Cordialement,

[invite60be3959]

Bonjour............

(mauvaise manip)



La question est sans équivoque. Si on choisit de tenter sa chance, soit on perd 50, soit on gagne 100(cas 1). Si on choisit de garder les 100 euros, soit on ne perd pas 50, soit on ne gagne pas 100(cas 2).

Cas 1 : La somme supplémentaire sera en moyenne de 0.5 * 100 - 0.5*50 = 25.

Cas 2 : La somme supplémentaire qu'on ne gagnera pas est en moyenne de 0.5*100 - 0.5*50 = 25. Et le somme que l'on ne perdra pas est de 25 également (0.5*50 - 0.5*100 = -25).

Conclusion, le gain statistique totale est nul. Mais si vous êtes joueur n'hésitez pas à tenter votre chance !

[ansset]

Pourquoi?



Certes. Mais la question posée ainsi est celle des probabilités à affecter au cas "50" et au cas "200".

L'idée que ces probabilités sont égales est fausse.

Avant le tirage, l'information sur les deux enveloppes est strictement symétriques, et l'égalité des probabilités est obligatoire.

Mais après l'ouverture d'une enveloppe, il n'y a plus égalité. Il faut évaluer la proba du couple (50,100) sachant que l'une des valeurs est 100, et la proba du couple (100, 200) sachant que l'une des valeurs est 100. Ce n'est plus symétrique, et on ne peut pas déduire de l'énoncé si les probas sont égales ou non (essentiellement par absence d'une loi de probabilité sur le couple même: quelle est la probabilité a priori --avant tirage-- de (100, 200)?).

toujours pas d'accord.
en quoi la proba (50,100 ) est differente de (100,200)
puisque je SAIS que j'ai 100.

le jeu peut être résumé autrement.
je te donne x, et tu as le choix de les garder ou de tenter un coup à x/2 ou 2X.

revenir sur le premier tirage qui a eu lieu n'a pas de sens.
puisqu'il fait partie d'un fait établi.

quand à vaincent , je ne comprend pas sa demonstration.

[invité576543]

toujours pas d'accord.

en quoi la proba (50,100 ) est differente de (100,200)

Je parlais de la probabilité a priori (avant ouverture de l'enveloppe). Il est facile de montrer que la probabilité a priori de (x, 2x) ne peut pas être la même pour tout x. (L'espérance serait infinie, ce qui n'est ni physique, ni conforme à ce que toute personne saine d'esprit suppute sur la valeur d'un lot dans le monde réel.)

je te donne x, et tu as le choix de les garder ou de tenter un coup à x/2 ou 2X.

Certes. Et alors? En quoi cela change-t-il le fait que cela n'indique pas la probabilité a priori de x?

Cordialement,

[invité576543]

La question est sans équivoque. Si on choisit de tenter sa chance, soit on perd 50, soit on gagne 100(cas 1). Si on choisit de garder les 100 euros, soit on ne perd pas 50, soit on ne gagne pas 100(cas 2).

Cas 1 : La somme supplémentaire sera en moyenne de 0.5 * 100 - 0.5*50 = 25.

Cas 2 : La somme supplémentaire qu'on ne gagnera pas est en moyenne de 0.5*100 - 0.5*50 = 25. Et le somme que l'on ne perdra pas est de 25 également (0.5*50 - 0.5*100 = -25).

Cela me semble une belle démonstration que -(-x)=x.

De là à en tirer une conclusion...

Cordialement,

[ansset]

encore une fois, la question n'est pas sur la chance de gagner mais sur l'optimisation de la somme.

et je n'ose plus revenir sur le premier argument.
on part du principe que 100 est dans la première enveloppe......

[invité576543]

encore une fois, la question n'est pas sur la chance de gagner mais sur l'optimisation de la somme..

Certes...

Et plus exactement la question porte sur la comparaison des stratégies visant à optimiser le gain.

Et alors?

Cordialement,

[invite5150dbce]

Cela me semble une belle démonstration que -(-x)=x.

De là à en tirer une conclusion...

Cordialement,

encore faudrait-il le montrer pour tout réel x. Son ensemble choisi est assez restreint

[invitebdf515f4]

J'ai l'impression que les mathématiques ne peuvent pas conclure sur ce problème (Réponse 1) et en même temps, j'ai l'intuition que changer d'enveloppe ne change rien (Réponse 2).

En faveur de la réponse 1, je dirais que toutes les tentatives de résolution prétenduement académiques sont basées sur des hypothèses ad-hoc que l'on fait (sur la loi de probabilité utilisée) et qui a elles seules induisent le résultat obtenu.

En faveur de la réponse 2, c'est la symétrie du problème (mais j'y crois de moins en moins).

Michel je tire ça en partie de tes remarques que j'espère ne pas avoir mal interprétées.

En tout cas, j'avoue que je ne sens pas du tout les réponses non symétriques (3 et 4).

[invite5150dbce]

Les mathématiques peuvent conclure sur ce problème mais le nombre de paramètre est trop grand et inaccessible à l'homme pour que ce dernier puisse conclure

[invité576543]

J'ai l'impression que les mathématiques ne peuvent pas conclure sur ce problème (Réponse 1)

Ce ne sont pas les maths qui sont en cause (au contraire, c'est bien la théorie des probabilités conditionnelles qui permet d'obtenir une réponse claire à la question), mais le manque d'information de l'énoncé.

et en même temps, j'ai l'intuition que changer d'enveloppe ne change rien (Réponse 2).

C'est erroné. Prenons deux cas extrêmes pour montrer que la réponse 2 ne peut pas être générale. On ouvre l'enveloppe, et on y lit "1 centime d'Euro". Il est vraisemblablement préférable de changer, car quelle est la vraisemblance que l'autre enveloppe indique 1/2 centime d'Euro? A l'autre bout, on ouvre l'enveloppe et on y lit un montant correspondant à 30% le budget de l'émission. Quelle est la vraisemblance que l'autre montant soit le double?

Il est quasiment sûr que la meilleure stratégie soit de choisir l'échange ou non en fonction du montant lu. Mais il n'y a pas assez de données dans l'énoncé pour expliciter la meilleure stratégie en détail.

En faveur de la réponse 1, je dirais que toutes les tentatives de résolution prétenduement académiques sont basées sur des hypothèses ad-hoc que l'on fait (sur la loi de probabilité utilisée) et qui a elles seules induisent le résultat obtenu.

C'est normal. C'est une application élémentaire des probabilités conditionnelles.

Michel je tire ça en partie de tes remarques que j'espère ne pas avoir mal interprétées.

J'espère que les petits bémols de ce message aideront.

En tout cas, j'avoue que je ne sens pas du tout les réponses non symétriques (3 et 4).

Elles sont absurdes parce que l'ouverture de l'enveloppe n'est pas prise en compte, et donc que ne pas l'ouvrir ne changerait rien...

Cordialement,

[ansset]

bonsoir,

c'est de l'embouille totale, cette histoire..
il n'y a pas d'enigme la-dedans, juste des circonvolutions.

on se moque effectivement du premier tirage sauf qu'il a eu lieu !
donc il n'y a que le second qui compte !

.....................

[invite60be3959]

Cela me semble une belle démonstration que -(-x)=x.

De là à en tirer une conclusion...

Cordialement,

Cela sert l'explication. On peut se représenter le problème à l'aide d'un arbre pondéré :
............................. 1/2
...........................-------> S (branche1)
1/2
------> S
.............................. 1/2
............................-------->2S (branche2)


.............................. ..1/2
............................---------> S (branche 3)
1/2
------> 2S
.............................. .1/2
...........................----------> 2S (branche 4)

J'attribue la même loi de probabilité au choix d'une des 2 enveloppes au départ et au choix de garder ou non la somme ensuite. Au départ donc, 1/2 chance d'obtenir S et 1/2 chance d'obtenir 2S. Si S, alors 1/2 chance d'avoir S (on garde la somme, branche 1) et 1/2 chance d'obtenir 2S (on ouvre l'autre enveloppe, branche 2). Si 2S, alors 1/2 chance d'obtenir S (on ouvre l'autre enveloppe, branche 3) et 1/2 chance d'obtenir 2S (on garde la somme, branche 4).

Au final, on voit que la probabilité totale d'obtenir S est de (1/2)*(1/2) + (1/2) *(1/2) = 1/2. Même chose pour la probabilité totale d'obtenir 2S. On en conclue donc que la proba totale d'avoir S est égale à celle d'avoir 2S, tous choix confondus. Il est impossible de trancher. Cela montre bien que garder la somme ou ouvrir l'autre enveloppe ne rapporte pas plus en moyenne.

[invitebdf515f4]

Personnellement, j'ai encore besoin de me secouer un peu les neurones pour tout mettre en place, mais j'ai l'impression de comprendre l'analyse de Michel.

Je ne suis pas encore capable de synthétiser l'explication globale ... mais je sens que ça va venir.

Merci à tous pour vos efforts ... et bonne nuit !

[invité576543]

Encore un essai pour tenter d'aider.

Le point important à comprendre est le manque d'une hypothèse a priori sur la probabilité de ce qu'il y a conjointement dans les enveloppes avant l'ouverture d'une enveloppe (le mot "avant" porte ici sur probabilité, la notion de probabilité s'appliquant à l'information disponible; on s'intéresse à l'information disponible avant l'ouverture d'une enveloppe).

Prenons alors un exemple de telle hypothèse, avec une variante du problème:

L'animateur vous dit : "Sous contrôle d'huissier nous avons tirer au hasard, selon un processus garantissant une densité de probabilité uniforme, une somme entre 10 et 1000 Euros. Nous avons mis cette somme dans une enveloppe, et le double dans l'autre" puis le reste se déroule comme proposé dans le message #1.

ALORS il est possible de donner la stratégie optimale, et ce avant même d'ouvrir l'enveloppe (ce qui est la bonne pratique, d'ailleurs). Si le montant de l'enveloppe ouverte est entre 1000 et 2000 Euros, on garde l'enveloppe, sinon on change.

Et cette stratégie se prouve par raisonnement de proba conditionnelles, qui indiquent comment calculer proba((x, 2x) | x) et proba((x, x/2) | x).

----

Notons au passage un "piège" de l'énoncé. Il laisse penser qu'il n'y a que deux "stratégies" : garder ou changer. Cela paraît naturel après avoir ouvert l'enveloppe : il n'y a que ces deux options, n'est-ce-pas? Alors qu'on raisonne bien mieux en comparant les stratégies établies avant ouverture, ce qui permet d'inclure et d'étudier une stratégie comme décrite ci-dessus.

Cordialement,

[invitebdf515f4]

Michel, c'est limpide.

En plus, j'ai obtenu d'autres réponses sur d'autres forums ... car j'ai un peu été obsédé par ce problème, de manière pas très rationnelle peut être.

Si j'ai le temps, je ferais une synthèse ... mais je ne résiste pas à vous fournir une réponse "d'un bloc" qui m'a été fournie par un mathématicien de profession (je ne donne pas son nom car je ne lui ait pas demandé cette autorisation) et qui, à mon avis, synthétise bien ce que j'ai fini, laborieusement, avec votre aide, à comprendre:

La meilleure réponse est un mélange des réponses 1 et 2 (les réponses 3
et 4 sont clairement fausses).

En effet, en l'absence de toute autre indication extra-mathématique, la
modélisation probabiliste n'est pas adaptée et on NE peut PAS parler
d'"espérance de gain" : la notion d'espérance fait intervenir la moyenne
par rapport à des choix aléatoires, or quand on décide de garder la boîte
il n'y a plus rien d'aléatoire dans ce qu'on gagne, donc pas d'"espérance
du gain" !! Sans aucune autre indication, l'observation "la boîte contient
100euros" n'est d'absolument aucune utilité, et changer de boîte ne
change rien.

Pour pouvoir parler de l'espérance du gain, il faut faire une
modélisation de la manière dont les boîtes ont été remplies. C'est
l'information extra-mathématique dont vous parlez. Par exemple on peut
postuler "il est très improbable que l'animateur ait mis plus que 100
euros en jeu", alors, si vous voyez 100 euros, vous avez tout intérêt à
les garder ! et ce raisonnement peut être rendu rigoureux en mettant une
loi de probabilité sur la somme mise dans les boîtes, et en calculant des
probabilités d'avoir la meilleure boîte sachant qu'on a vu 100 euros
dedans. Mais à l'inverse, on peut prendre comme postulat que "vu les
millions dont la télé dispose, l'animateur n'a certainement pas mis juste
50 euros dans une boîte et 100 euros dans l'autre" ; alors, si on voit 100
euros dans une boîte, on a de bonnes raisons d'attendre 200 euros dans
l'autre boîte. Ceci démontre que, selon la modélisation retenue, les
réponses 3 et 4 peuvent être soit vraies soit fausses (et ne peuvent donc
pas être vraies dans l'absolu).

Les mathématiques seules ne peuvent donc pas vous aider à choisir
une modélisation raisonnable de la manière dont les boîtes sont remplies
(en cela la réponse 1 est la plus correcte). Par contre, si on suppose
qu'on s'est donné une telle modélisation, alors on peut faire un
traitement mathématique rigoureux qui selon les cas vous dira ou non s'il
faut changer de boîte (mais la réponse dépendra des détails de la
modélisation).

[ansset]

Michel, c'est limpide.
..............

En effet, en l'absence de toute autre indication extra-mathématique, la
modélisation probabiliste n'est pas adaptée et on NE peut PAS parler
d'"espérance de gain" : la notion d'espérance fait intervenir la moyenne
par rapport à des choix aléatoires, or quand on décide de garder la boîte
il n'y a plus rien d'aléatoire dans ce qu'on gagne, donc pas d'"espérance
du gain" !!
............................
Pour pouvoir parler de l'espérance du gain, il faut faire une
modélisation de la manière dont les boîtes ont été remplies. C'est
l'information extra-mathématique dont vous parlez. Par exemple on peut
postuler "il est très improbable que l'animateur ait mis plus que 100
euros en jeu", alors, si vous voyez 100 euros, vous avez tout intérêt à
les garder ! et ce raisonnement peut être rendu rigoureux en mettant une
loi de probabilité .... etc ....

c'est du charabia pour moi !
je ne savais pas qu'en faisant des probas, on pré-supposait ce que l'animateur télé avait dans la tête.
mais il est certain qu'en pré-supposant plein de truc , on peut arriver à toutes les conclusions que l'on souhaite.

ps: si ON decide de garder la boite, le gain reste 100, il ne devient pas NUL !

je veux bien melanger les maths à la philo, mais il faut preciser les rêgles, sinon on devient shizo !

[invite60be3959]

Je suis d'accord avec ansset sur le principe. L'énoncé est clair et défini ce que sont les hypothèses de départ. Ce n'est pas parce que l'on arrive à la solution :"impossible de savoir si l'on doit garder la 1ère enveloppe ou ouvrir la 2ème"(que j'ai montré dans mon précédent message) que l'on doit inventer d'autres hypothèses pour être capable de trancher sur la question, ou alors ce n'est plus le même problème. Sans ajouter d'autres hypothèses la solution est la réponse 2. Si on en ajoute, en effet c'est un mélange des réponses 1 et 2.