Question complexe sur les complexes

invite2b14cd41 · 03/12/2009, 14h15

Bonjour ; cette question est probablement hors programme; mais elle me taraude l'esprit, car je ne vois pas comment la résoudre ni même ce qu'elle signifie. Quelle est la forme algébrique du nombre : 2ⁱ ??
Ma calculatrice indique : 0.7692389014+0.6389612763i mais comment en est-elle arrivé à ce résultat ?

Merci d'avance

**phryte** · 03/12/2009, 15h11

Bonjour.
Parce que c'est égal à : exp(i*log(2))

**hhh86** · 03/12/2009, 16h55

et donc à cos(log(2))+isin(log(2))

invite2b14cd41 · 03/12/2009, 20h23

waw , cool , merci beaucoup
Mais par log , vous vouliez dire ln , n'est-ce pas ?
hhh86 , ton raisonnement ne tient pas :S
la calculatrice dit autre chose ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2b14cd41 · 03/12/2009, 20h49

AH excusez-moi , je suis très inattentif , j'ai oublié de mettre ma calculatrice en radians , mille excuses .

(et j'ai une mauvaise habitude, comme vous l'avez probablement remarqué j'ai tendance à être esclave de la calculatrice) , encore merci.

**hhh86** · 04/12/2009, 15h44

oui c'est une mauvaise habitude :
exp(ix)=cosx+isinx
donc 2^i=exp(iln(2))=cos(ln2)+isin( ln2)

invite2b14cd41 · 05/12/2009, 12h25

Merci , mais je n'arrive pas à assimiler une chose :
Dans la définition de la forme exponentielle des nombres complexes , comment se fait-il qu'une fonction puisse être utilisée avec des nombres complexes, car jusqu'à présent nous n'avons appris à tracer et à étudier des fonctions dans l'ensemble R (ou dans l'ensemble N pour les suites)

De même pour la fonction ln.
Ce que je ne comprend pas vraiment c'est la signification de la fonction exponentielle (et de toutes fct en general ) dans l'ensemble C.
Ex: f(x)=x² : il est clair que pour x reel il s'agit d'une parabole, mais comment tracer/étudier cette fonction si x peut être un complexe ???

Re-Merci d'avance ...

**Flyingsquirrel** · 05/12/2009, 13h01

Envoyé par pol92joueur

Ex: f(x)=x² : il est clair que pour x reel il s'agit d'une parabole, mais comment tracer/étudier cette fonction si x peut être un complexe ???

Question intéressante.

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ . Par conséquent l'image du point $\text{[math]}$ du plan complexe par l'application $\text{[math]}$ est le point dont un argument est $\text{[math]}$ et dont le module est $\text{[math]}$ . Grossièrement, si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ a un argument double de celui de $\text{[math]}$ et est plus proche de l'origine que $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ ) et si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ a également pour argument $\text{[math]}$ mais il est cette fois plus loin de l'origine que $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ ).

Pour représenter les fonctions de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ une solution consiste à regarder comment elle déforme une image (une photo, un dessin...). On choisit une image et on lui associe un repère orthonormé ce qui permet de repérer chacun des points de l'image par un nombre complexe $\text{[math]}$ . Ensuite on applique la transformation à tous les points de l'image ce qui nous donne une nouvelle image grâce à laquelle on peut visualiser la transformation que l'on étudie.

Pour littéralement voir ce qui se passe tu peux regarder la sixième partie de Dimensions (le reste du film mérite aussi d'être visionné !)

invite2b14cd41 · 05/12/2009, 13h12

merci beaucoup , je n'ai pas trés bien compris l'idée d'image tordue, mais ce site est super (un seul défaut le film est de 250 MB et ma connection est vraiment très lente , 128 kbps :P) , mais d'aprés ce que j'ai compris , il y aurait donc une méthode pour étudier chaque fonction avec des complexes

**Flyingsquirrel** · 05/12/2009, 13h12

Envoyé par Flyingsquirrel

Pour représenter les fonctions de dans une solution consiste à regarder comment elle déforme une image (une photo, un dessin...). On choisit une image et on lui associe un repère orthonormé ce qui permet de repérer chacun des points de l'image par un nombre complexe . Ensuite on applique la transformation à tous les points de l'image ce qui nous donne une nouvelle image grâce à laquelle on peut visualiser la transformation que l'on étudie.

Ce paragraphe est un peu confus. Version corrigée :

Envoyé par Flyingsquirrel

Pour représenter une fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ une solution consiste à regarder comment elle déforme une image (une photo, un dessin...). On choisit une image et on lui associe un repère orthonormé ce qui permet de repérer chacun des points de l'image par un nombre complexe $\text{[math]}$ . Ensuite on applique la fonction à tous les points de l'image ce qui nous donne une nouvelle image grâce à laquelle on peut visualiser l'application que l'on étudie.

invite2b14cd41 · 05/12/2009, 13h22

Merci beaucoup

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