Similitude et barycentre

[invite60457a4e]

Bonsoir;

J'ai un problème sur un DM de spé maths (TS).



G est la similitude du système (A1 ;α1)… (An ; αn) avec α1+…+ αn≠0.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ;u ;v). Les points A1,…An,G ont respectivement pour affixe a[sub]1,…an,g.
s est une similitude de centre O.
On note G', A'1,… A'n les images de G, A1,…An par s.
Le but de ce TD est de démontrer que G' est le barycentre de (A'1 ; α1)…(A'n ; αn).

1. Calculer l'affixe g de G en fonction de a1,… an, α1,… αn.
2. Justifier l'affirmation suivante :
Dans le repère (O ;u,v), s a pour écriture complexe z'= az ou z'= az(->le dernier z est le conjugué de z).
3. On suppose que s a pour écriture complexe z'=az.
a) Calculez l'affixe g' de G', image de G par s.
b) Déduisez-en que G' est le barycentre de (A'1 ; α1) …(A'n ; αn).
4. Reprenez la question 3. Avec z'=az(avec z, la conjuguée de z).

J'ai démontré la 1 avec le théorème fondamentale du barycentre.
La 2 je sais que S est une homothétie mais je ne sais pas comment arriver aux résultats.
Après je ne comprends plus l'exo --"

Merci de votre aide.
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[invite61601559]

G est le barycentre de....;

[invite61601559]

g = (alpha1.a1 +alpha2.a2 +.....+alpha n.an)/ ( alpha1+alpha2+......+alpha n )
OK ? à montrer à l'aide de la déf du bary.
les ai ( a indice i ) étant les affixes des Ai

[invite61601559]

S homothétie ? a dans z'=az est réel ou complexe ? si a réel alors S est une hom.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61601559]

Bref !!! si G a pour image G' par la similitude alors on a g'=ag
ou g'= (a. alpha1.a1 +a.alpha2.a2 +.......+ a.alpha n .an)/(alpha1++...+alpha n)
or A'i est l'image de Ai donc a'i=aai pour tout i de 1 à n et
g'=( alpha1.a'i+alpha2.a'2+.....+al pha n.an)/ ( alpha1 +....+alpha n)
cette égalité montre que G' est bien le bary de G par S il suffit de repasser des affixes aux vecteurs OK ?

[invite61601559]

Question 4 est idem à 3 non ? Il est écrit deux fois la même chose ...

[invite61601559]

Je viens de voir que tu as écrit z'=az ou le dernier z est le conjugué de z donc c'est qu'on a une similitude indirecte ( j'ignore si vous appelé ça encore ainsi en TS) composée d'une symétrie avec une homothétie , la composée est commutative.... ICI dans ma démonstration remplacer les ai ( a indice i ) par des ai barre ( conjugué de ai ) ceci ne changera rien à la démarche .
Ce que j'ai écrit était valable pour une similitude DIRECTE .

[invite60457a4e]

Merci pour tes réponses. J'arrive à te suivre jusqu'à la fin du petit 2 car je ne vois pas comment repasser aux Z

[invite60457a4e]

En fait je viens de tout poser par écrit et je n'arrive pas à comprendre la 2 plutot lol. Si j'ai : g'=a((alpha1.a1+alpha2.a2+...+ alphan.an)/(alpha1+alpha2+...+alphan))

cela me montre z'=az?
Si oui comment arriver à z'=az(conjuguée de z)

[invite61601559]

Quelles similitudes avez vous étudiés en classe ?
On doit parler de centre , de rapport et d'angle....
la traduction d'une similitude directe ( composée d'une homo. avec une rotation ) en complexes donne
M(z) a pour image M'(z') où z' =az+b a, b sont complexes ( voir cours )
Ici le centre est O(0,0) donc b=0 je ne vois pas pourquoi il y a z barre (il faut que l'énoncé précise de quelle similitude il s'agit...

[invite61601559]

Si effectivement l'énoncé dit que la similitude proposée ,est donnée par z'=az(barre)+b comme son centre est O(0,0) c'est que b=0
et z'=az
dans ton égalité de 10h28...il faut comme je l'ai dit remplacer les ai par ai(barre) (conjugué de ai) et la en revenant aux vecteurs on trouve que G' est ....