Bonsoir, j'ai un petit problème..
Pour commencer j'ai dérivé f(x) = 1 / (x-1)
Je trouve f '(x) = -1 / (x-1)²
Mais je dois ensuite calculer f ''(x) puis f ''' (x), mais je n'y arrive pas, je pense qu'il faut d'abord dérivé (x-1)² puis ensuite -1 / X, mais je ne suis pas sur, je ne sais pas trop comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.
tu as la bonne dérivée et ensuite, tu dois te servir de deux formules
la dérivée d'une composée : (v o u)' = u' * (v' o u)
--> cas particulier (u²)' = 2uu' ici u = x-1
la dérivée de l'inverse (1/u)' = -u'/u²
ici tu as -1/u² --> tu dérives le dénominateur, puis tu appliques la formule sur les inverses et tu obtiens f"(x)
réponse = - 2/[(x-1)^3]
pour f"'(x), il faut en plus la dérivée du quotient :
(u/v)' = (u'v-uv')/v²
Pour f ''(x), j'ai du faire une erreur ou louper une étape,
Je calcul (u²)' = 2uu' avec u=x-1 et u'=1
= 2(x-1)x1 = 2x-2
Ensuite je calcule (1/u)' = -u/u² avec u=2x-2 et u'=2
= -2 / ((2x-2)²)
Mais je devrais trouver - 2/[(x-1)^3]..
Alors attention :
Avec donc
ce qui nous donne :
À partir de là tu peux faire, comme tu le sais, 1/u :
et non -2 comme tu marques que tu devrais trouver.
Tu comprends les étapes ?
RononDex87.
Merci beaucoup, oui j'ai compris les étapes =)
Pour calculer ensuite la dérivée de 2 / (x-1)^3,
Dois-je faire f ''(x) de la forme u / v
avec u= 2 et v=(x-1)^3
u'=0 et v' = 3x² - 6x + 3
Puis j'utilise ensuite, f '''(x) = u'v-uv' / (v)² ?
non pour v= (x-1)^3 on écrit v'=3(x-1)² puis on applique f '''=(u'v-v'u)/v² pour simplifier par x-1
Envoyé par transam
Pourquoi non ?? C'est bien le résultat qu'il a trouvé il a juste développé !!
En fait le but de ces calculs st de démontrer que la dérivée d'ordre n de f est f^(n)(x)= (-1)^n . n!/(x-1)^(n+1) où n!=1x2x3x....xn
( factorielle n ) à montrer par récurrence.
Ok merci, donc (sachant que u'v=0 car u'=0) mon calcul sera égal a :
f '''(x) = [-2(3(x-1)²)] / [((x-1)²)^3]
= [-2(3x²-6x+3)] / [(x-1)^6]
= [-6x²+12x-6] / [(x-1)^6] ??
Je n'ai pas dit que le développement est faux....Il est juste mais on ne fait pas ça car le but est de simplifier par x-1 dans f" , par (x-1)² dans f "' , par (x-1)^3 dans f^(4) ( dérivée d'ordre 4 ) etc
non j'ai dit on ne développe pas , à la deuxième ligne on laisse -6(x-1)²/(x-1)^6 et on simplifie par (x-1)² restera
f "'(x)= -6/(x-1)^4
Merci beaucoup
Par contre je ne comprend pas bien pour la question 2, quand vous dites:
"En fait le but de ces calculs st de démontrer que la dérivée d'ordre n de f est f^(n)(x)= (-1)^n . n!/(x-1)^(n+1) où n!=1x2x3x....xn
( factorielle n ) à montrer par récurrence."
Si tu es en première c'est normal car la récurrence est étudiée en TS
pas en première je pense...
Le pb est que cette fonction on peut la dériver indéfiniment je veux dire à tout ordre. Toi tu as dérivé f jusqu'à l'ordre 3 et on peut montrer qu'on peut dériver 4 fois, 5 fois ,6 fois...n fois la n ième dérivée sera donnée par la formule que j'ai écrite .
Si tu remplaces n par 1 tu retrouves f ' , n par 2 tu retrouves f " , n par 3 tu retrouves f "' etc
Je suis en terminal, mais je ne vois pas pourquoi il faudrait utiliser la récurrence, j'avoue que j'ai un peu de mal avec ca :s
En terminalE si tu n'as pas encore vu la récu. au premier trimestre ....c'est normal d'avoir des pb avec elle sinon il faut la travailler en comprendre le principe
Est-ce possible de poser ma récurrence comme cela :
* f^1(x) = (-1)^1 x (1/(x-1)^1+1) = -1/(x-1)²
La relation est vérifiée pour n=1
* Supposons que f^n(x) = (-1)^n x (n!/(x-1)^n+1)
et montrons que f^n+1(x) = (-1)^n+1 x ((n+1)!/(x-1)^n+1+1)
Sachant que f '(x) = -1/(x-1)² et que f ''(x) = 2/(x-1)^3
--> f^1(x) = (-1)^1 x (1/(x-1)^2) = -1/(x-1)²
--> f^1+1(x) = (-1)^1+1 x (1x2/(x-1)^2+1) = 1 x (2/(x-1)^3
= 2/(x-1)^3
* Pour tout n, f^n(x) = (-1)^n x (n!/(x-1)^n+1) ?
La moitié ( le début ) est correcte.....J 'explique le principe
tu as vérifié la propriété ( formule que tu veux démontrer ) pour n=1 c'est OK
Tu la supposes vraie à l'ordre n donc pour CET n on a l'égailté et tu vas montrer qu'elle est encore vraie pour le suivant de n donc n+1 ( on dit que la propriété est héréditaire)
donc f^n(x) dérivée n ième de x =(-1)^n . n! /( x+1)^(n+1) on dérive CETTE dérivée d'ordre n ce qui donne la dérivée d'ordre n+1
(f^n(x))' = f^(n+1)(x)= -(-1)^n.n!..(n+1).(x+1)^n/(x+1)^(2n+2) on simplifie par (x+1)^n Num et Den on a
f^(n+1)(x)=(-1)^(n+1).(n+1)!/(x+1)^(n+2) et on reconnaît la formule pour n+1
Le principe du raisonnement pat récu. permet de conclure que POUR TOUT n >=1 on a l'égalité annoncée au début
