fonctions et dérivés

[inviteb2bf1d86]

Bonjour à tous!

Voilà j'ai un exo de maths à faire et j'ai beau pencher dessus depuis cinq jours je n'y comprends rien.

Alors je me lance et j'espère vraiment que vous pourrez m'aider:

On considère une fonction g définie sur l'intervalle )-1/2;+ l'infini)

g(x)= -x² + ax- ln(2x+b)
où a et b sont deux réels.

Calculer a et b pour que la courbe représentative dfe g dans un plan d'un repère (O,i,j) passe par l'origine du repère et admettre une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1/2.

J'ai commencé par calculer la tangente mais je trouve -2x+a-1/2 et je suis bloquée.

Comment faire?
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[invite596e2473]

Voici comment moi j'aurais fait :

La courbe de g doit passer par le point (0;0). Donc tu résous g(0) = 0 et tu trouveras b.

Ensuite avec l'histoire de la tangente. Tu sais qu'elle est parallèle à l'axe des abscisses, elle est donc horizontale c'est-à-dire de coefficient 0.
Tu dérives g ensuite tu calcules l'équation de la tangente (tu sais avec la formule y = g'(0.5)(x-0.5) + g(0.5)). De cette expression tu prends le coef directeur en fonction de a et b mais b tu remplaces par ce que tu auras trouvé et tu isoles a pour trouver ... a.

Allez je t'aide pour b je trouve b = 1 et a = ha bah nan ça je te laisse faire je veux bien te dire si tu auras juste .

[inviteb2bf1d86]

Ok j'essaie! Merci beaucoup. Je te dirai ce que je trouve.
En tous cas c'est cool merci.

[inviteb2bf1d86]

J'ai fais comme ca:
g(o)= 0
g(x)= -x²+ax-ln(2x+b)
g(0)= 0+0-ln(2x0+b)
ln (b)=0

Mais comment tu trouves b=1???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite596e2473]

Très simple, pour quelle valeur de b ln(b) = 0 ? Ou si tu préfères :

ln(b) = 0
<=>
<=>

Tu comprends mieux ?

[inviteb2bf1d86]

Ahhhhhhhhhhh! ok merci merci merci!!!

[inviteb2bf1d86]

g(1/2) = -x²+ax-ln(2x+b)
g(1/2)=-1/4+1/2a-ln(1+1)
g(1/2)=-1/4+1/2a-ln(2)
a=1,89

g'(x)=-2x+a-1/2
g'(1/2)=-2x1/2+a-1/2
g'(1/2)=-1+a-1/2
a=3/2

Je suis sur la bonne piste au moins???

[invite596e2473]

Pourquoi avoir calculé g(0.5) ? On en a pas besoin.

Pour g'(x) ça ne serait pas plutôt g'(x)=-2x+a-2/(2x+b) ?

[inviteb2bf1d86]

Comment as tu trouvé -2/(2x+b) comme dérivé de ln(2x+b)???

[invite596e2473]

Car la dérivée de ln(u) c'est u'/u avec u(x) = 2x+b

[inviteb2bf1d86]

Donc g'(1/2)= -2x1/2+a-2/(2x0.5+1)
g(1/2)=-1+a-1
a=-2

[invite596e2473]

Voilà tu as tout compris et c'est juste.

Juste il faudra dire que le coef est nul et que g'(0.5) = 0 donc -1 +a -1 = 0 <=> a = 2 ...

[inviteb2bf1d86]

J'ai calculé g(0.5) parce que j'en ai besoin pour calculer l'équation de la tangente.

[invite596e2473]

Ok mais on peut s'en passer car le coef directeur c'est g'(0.5).