Limites de suite

[invitea79cf75f]

Bonsoir,

J'ai plusieurs calculs de suite à faire, il y en a certaines que j'ai réussi à faire et j'aimerais savoir si c'est bon et il y en a d'autres que je ne sais pas résoudre.
Pourriez-vous me dire si ma rédaction est bonne svp ?

Énoncé :

1) u_n = (2n²-n+1) / n³

2) u_n = (2ⁿ-3ⁿ⁺²) / 6ⁿ

3) uⁿ = (n+1) / [n(-2)ⁿ]

4) uⁿ = (2n-1) / (n+2) X 2ⁿ

5) uⁿ = 2√n + [(-1)ⁿ+1]n

6) uⁿ = (n²-1)/(n²+1) X √n + (n²-3)/(n²+4)
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[invitea79cf75f]

Réponses :

1) Suite convergente
lim┬(n→ +∞)u_n = lim (2n²)/n³ = lim 2/n = 0

4) lim (n→ +∞) (2n-1)/(n+2) =2
lim (n→ +∞) 2ⁿ = +∞
Donc par produit lim (n→ +∞)u_n = +∞

[invitea79cf75f]

6) u_n = (n²-1)/(n²+1) X √n + (n²-3)/(n²+4)

f(x) = (x²-1)/(x²+1) X √x + (x²-3)/(x²+4)

lim (x→ +∞) (x²-1)/(x²+1) = 1
lim (x→ +∞) √x = +∞
Par produit, lim (x→ +∞) (x²-1)/(x²+1) X √x = +∞

lim (x→ +∞) (x²-3)/(x²+4) = +∞

Par somme lim (x→ +∞) f(x) = +∞

Donc lim (x→ +∞) u_n = +∞

[fiatlux]

salut

1) juste
4) juste
6) tu as écrit: lim (x→ +∞) (x²-3)/(x²+4) = +∞
c'est faux, cette limite vaut 1, puisqu'elle équivaut à une limite de x² / x² si on garde les termes ayant les plus forts exposants. Par contre, ça ne change rien au résultat et donc la limite totale est bien infinie.
2) tu peux par exemple remarquer que et donc , ce qui devrait sans problème te permettre de trouver la limite.
3) même principe qu'au 2). et donc la limite est évidente.
5) le terme de gauche, c'est à dire donne une limite infinie. Le terme de droite vaut 2n quand n est pair et vaut 0 quand n est impair. Avec ça tu devrais aussi trouver la limite sans problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea79cf75f]

bonsoir,

Merci de votre réponse
Je n'ai jamais bien compris la limite pour les fonctions puissances, faut dire que j'en ai vu que très rarement l'année dernière en Tes. Cette année je suis un peu embêtée entre les suites que je n'ai jamais vu et les fonctions puissances.

Pour le 6), c'est une erraur de frappe j'ai tapé le résultat avant la fin de la démonstration.

Pour le 2), je pense que la limite tend vers 0 mais je n'en suis pas du tout sûre.

Pour le 3), comme c'est la somme de 2 fonctions inverses, et qu'une fonction inverse tend vers 0 en +∞, la limite est +∞

Pour le 5), 2√ tend vers +∞ en +∞. si n est pair 2n tend vers +∞, et si n est impair, 0 tend vers 0. Dans les 2 cas la limite est +∞.

Tout cela est juste ?

[invitea79cf75f]

Y a-t-il un endroit où je pourrais lire le cours sur les limites des fonctions puissances ?

[fiatlux]

2) effectivement la limite tend vers 0. Pourquoi? parce que dans notre cas les nombres dans les paranthèses, autrement dit ceux qui sont élevés à la puissance n, sont plus petits que 1 (en valeur absolue), donc la limite lorsque n tend vers l'infini tend vers 0. Pour t'en convaincre, tu n'as qu'à calculer les premiers termes et tu vois bien que plus n devient grand, plus les termes deviennent petits, donc tendent vers 0 quand n tend vers l'infini:





etc... donc plus n devient grand, plus ça tend vers 0. Pareil pour . Tant que ce qui est élevé à la puissance n est plus petit que 1 (en valeur absolue), c'est-à-dire compris dans l'intervalle ]-1;1[, la limite en l'infini est nulle:
pour

3) oui, ici les numérateurs (1 et 1) sont fixes, alors que les dénominateurs deviennent toujours plus grands quand n grandit, donc les fractions tendent vers 0.

5) ok

pour les cours tu peux certainement en trouver sur internet mais je ne connais pas de site en particulier ---> google
Par contre il y en a certainement dans les sujets en haut du forum http://forums.futura-sciences.com/ma...college-lycee/

[invitea79cf75f]

Merci beaucoup pour les explications et l'aide

Bonne soirée !