Equation différentielle y'+2y=3e^-3x

[invite339e39cf]

Soit l'équation différentielle y'+2y=3e^-3x (1)

1. Démontrer que tout fonction u telle que la fonction x -> u(x)e^-3x soit solution de (1) vérifie l'équation différentielle y'-y=3 (2).

2. a. Démontrer que la fonction constante x -> -3 est solution de (2).
b. Démontrer qu'une fonction f est solution de (2) si et seulement si la fonction g : x -> f(x)+3 est solution de l'équation y'-y=0.
c. Résoudre l'équation différentielle y'-y=0 puis l'équation (2).
d. Déterminer la solution de (1) qui s'annule en 0.

3. Soit h la fonction sur IR par h(x)=3(e^-2x-e^-3x).
a. Etudier le sens de variation de h. Calculer h(ln3/2).
b. Déterminer les limites de h en +oo et -oo.
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[Flyingsquirrel]

Bonjour et bienvenue Mariets4,

Si tu cherches un robot pour faire tes exos à ta place, il y a Wolfram Alpha. Si tu veux que nous (qui sommes humains !) t'aidions, il faut que tu nous dises ce que as fait et où tu bloques au lieu de simplement copier/coller l'énoncé de ton exo.

Pour la modération, Flyingsquirrel.

[invite339e39cf]

Je suis entièrement d'accord, Flyingsquirrel, dans un premier temps j'ai posé mon exercice pour voir si quelqu'un était en mesure de m'aider, puis j'avais bien prévu d'expliquer mon problème et de faire en sorte de comprendre mes erreurs.

Je suis bloquée à la première question.
Je crois qu'il faut trouver u'(x), mais je n'y arrive pas avec la forme d'écriture x -> u(x)e^-3x.
il ne faut peut-être pas faire comme ça, dans ce cas je n'ai aucune idée...

[invite339e39cf]

après avoir calculer u'(x) j'avais penser faire u'(x)+2u(x).
Puis après cela trouver comme résultat u'(x)+2u(x)=e^-3x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je suis bloquée à la première question.
Je crois qu'il faut trouver u'(x), mais je n'y arrive pas avec la forme d'écriture x -> u(x)e^-3x.
il ne faut peut-être pas faire comme ça, dans ce cas je n'ai aucune idée...

Il faut que tu te serves de l'hypothèse que l'on te donne : on te dit que la fonction (appelons la ) est solution de (1) donc tu sais que pour tout , . Ensuite tu peux remplacer et par leurs expressions en fonction de et de et il faut s'arranger pour montrer que est solution de (2), c'est-à-dire prouver que pour tout , .

[invite339e39cf]

v(x)=u(x)e^-3x

Pour la dérivée: v(x)= u x v : v'(x)=v x u' + v' x u
Avec u=u(x), u'=u'(x), v=e^-3x et v'=-3e^-3x
Alors v'(x)=e^-3xu'(x) - 3e^-3xu(x)
( = e^-3x ( u'(x)- 3u(x) ) )

v'(x) + 2v(x) = e^-3xu'(x) - 3e^-3xu(x) + 2 u(x)e^-3x
= e^-3xu'(x)- e^-3xu(x)
= e^-3x (u'(x) - u(x))

Ça mène à rien, c'est complètement faux, non?

[Flyingsquirrel]

Ça mène à rien, c'est complètement faux, non?

Au contraire ! Il ne te reste plus qu'à te servir du fait que pour conclure.

[invite339e39cf]

On a démontré ça : v'(x) + 2v(x) = e^-3x (u'(x) - u(x))

Peut on dire que v'(x) + 2v(x) = 3e^-3x
puis que e^-3x (u'(x) - u(x)) = 3e^-3x
puis que (u'(x) - u(x)) = 3
et donc que y' -y = 3 ?

[Flyingsquirrel]

On a démontré ça : v'(x) + 2v(x) = e-3x (u'(x) - u(x))

Peut on dire que v'(x) + 2v(x) = 3e-3x
puis que e-3x (u'(x) - u(x)) = 3e-3x
puis que (u'(x) - u(x)) = 3

D'accord.

Peut on dire ... que y' -y = 3 ?

Non, car tu ne dis pas qui est . Par contre tu peux dire que ou que « est solution de l'équation » ce qui est bien ce que l'on voulait montrer.

[invite339e39cf]

Je bloque encore pour la suite...

x -> -3 , c'est une nouvelle fonction, on peut l'appeler t par exemple ?
t(x)=-3 ?
Ou c'est ici qu'il faut utiliser Ce^kx ?

[Flyingsquirrel]

x -> -3 , c'est une nouvelle fonction, on peut l'appeler t par exemple ?
t(x)=-3 ?

Oui, tu peux.

Ou c'est ici qu'il faut utiliser Ce^kx ?

Non, on te demande simplement de vérifier que . Il suffit donc de calculer ... et de vérifier que l'on trouve 3.

[invite339e39cf]

Il ne faut pas plutot faire :
y'=ky
Ici y'=-3y

Une fonction t dérivable sur R est solution de l'équation différentielle y'=-3y ssi pour tout x de R, t(x)=Ce^-3x où C est une constante.

C'est ça?

[invite339e39cf]

Ah non, d'accord !

t(x)=-3

t'-t=0-(-3)
t'-t=3

Nous avons bien démontré que t(x) est solution de (2).
Mais est ce rigoureux de l'appeler t ?

[Flyingsquirrel]

Il ne faut pas plutot faire :
y'=ky
Ici y'=-3y

L'équation (2) est et non .

Ah non, d'accord !

t(x)=-3

t'-t=0-(-3)
t'-t=3
Nous avons bien démontré que t(x) est solution de (2).

Oui (et c'est (=la fonction) qui est solution de (2), pas (=un nombre))

Mais est ce rigoureux de l'appeler t ?

Tu appelles tes fonctions comme tu veux, il faut seulement éviter d'employer des lettres ou des symboles déjà utilisés dans l'exercice. Tu as fait l'erreur plus haut lorsque tu as dérivé . Tu as dit mais le de gauche et celui à droite désignaient deux fonctions différentes. Ça n'est pas grave car tu as gardé en tête que les deux fonctions étaient disctinctes mais c'est quelque chose qu'il vaut mieux éviter.

[invite339e39cf]

D'accord, ça marche.

Pour la question suivante j'ai fait :

g(x)=f(x)+3 solution de y'-y=0 .ssi g'(x)-g(x)=0
.ssi f'(x)-f(x) + 3=0
.ssi f'(x)-f(x)=-3
.ssi f solution de (2)

Et là j'ai un problème pcq il aurait fallu que je trouve "f'(x)-f(x)=3"

[Flyingsquirrel]

Et là j'ai un problème pcq il aurait fallu que je trouve "f'(x)-f(x)=3"

Hé bien relis ton calcul pour trouver l'erreur.

Si jamais tu ne vois pas où elle est:

 Cliquez pour afficher

.ssi f'(x)-f(x) + 3=0

Non, c'est , il ne faut pas oublier les parenthèses.

[invite339e39cf]

Ah oui, je suis bête ^^.

Pour la c., j'ai fait :

y'-y=0
y'=y
La solution générale de y'-y=0 est x -> Ce^x avec C=constante

Puis y'-y=3 (2)

y'-y=0 est une solution de (2) donc la solution générale de (2) est la même que y'-y=0, c'est-à-dire x -> Ce^x

C'est ça?

Pour la d. :J'introduis une nouvelle fonction exemple g
g(0)=0

Ce^x= 0
C=0

Je sais que c'est pas ça, je comprend pas comment faire?

[Flyingsquirrel]

Pour la c., j'ai fait :

y'-y=0
y'=y
La solution générale de y'-y=0 est x -> Ce^x avec C=constante

D'accord.

Puis y'-y=3 (2)

y'-y=0 est une solution de (2)...

est une équation, comment une équation peut-elle être solution de l'équation (2) dont l'inconnue est une fonction ?


D'après la deuxième question, on sait que est solution de (2) si, et seulement si, est solution de . Mais tu viens de trouver les solutions de cette équation, tu peux donc dire ce que vaut puis en déduire .

Pour la d. :J'introduis une nouvelle fonction exemple g
g(0)=0

Moi je vais l'appeler parce que la fonction est déjà utilisée dans l'énoncé.

Pour répondre à cette question il faut se servir de tout ce que l'on a fait jusqu'à présent. On est parti d'une équation compliquée (1), et l'on a montré que trouver une solution de cette équation revient, en posant , à trouver une solution de (2). Comme tu connais les solutions de (2) tu peux en déduire , puis en déduire .

N'hésite pas à poser des questions si ça n'est pas clair.