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nombres subsublimes



  1. #1
    Giromon

    Arrow nombres subsublimes

    Bonjour,
    Voici le problème sur lequel je sèche.
    Un nombre entier naturel A est un nombre subsublime signifie que 3*A²+1 est un carré parfait.
    a)Les nombres 1 et 2 sont-ils subsublines?
    b)Montrer que si A est un nombre sublime, le suivant est 2*A+sqrt(3*A²+1)
    c)Quels sont les nombres subsublimes inférieurs à 100000 ?
    Je sais faire le a) et un algorithme pour le c).
    Pour le c), j'ai trouvé : 1;4;15;56;209;780;2911;10864;4 0545;151316
    Je ne sais pas faire le b). Qui peut m'aider?Merci.

    -----


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  3. #2
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Il n'existe pas de solution simple, quel est ton niveau en maths exactement ? Si tu es au lycée, cela me semble étrange. La démonstration est assez compliqué.
    J'ai fait une trame de démonstration qui prend déjà 3 pages et qui n'est pas très clair au niveau des notations pour te dire
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  4. #3
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Je voudrais revenir sur ce problème.
    J'aimerais savoir si des personnes ont trouvé une solution simple.
    La seule méthode que j'ai trouvé c'est de montrer qu'un ensemble de couple était solution dans IN² (ça c'est pas le plus difficile mais il faut penser à se ramener à une suite géométrique c'est pas évident)
    Ensuite, il faut montrer que cet ensemble est la seule solution. C'est là où est vraiment la difficulté. Ma démonstration est trop longue pour que je la poste ici.
    En faisant ainsi, on démontre la question 2
    Le seul problème c'est qu'une démonstration de 3-4 pages pour une question qui semble simple, ça me parait bizzard.
    Auriez vous des idées ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  5. #4
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Citation Envoyé par Giromon
    En posant:
    Un+1=2Un+Vn
    Vn+1=3Un+2Vn
    U0=0
    V0=1
    Je suis arrivé à prouver pae récurrence que pour tout n de IN, (Un;Vn) est solution
    de 3x²+1=y². Je ne vois pas comment continuer.
    Serais tu capable de prouver que pour tout entier n, il existe un entier k tel que Uk<=n<Uk+1 ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  6. #5
    Giromon

    Re : nombres subsublimes

    Je n'arrive pas à montrer que pour tout entier n, il existe un entier k tel que Uk<=n<Uk+1.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Citation Envoyé par Giromon Voir le message
    Je n'arrive pas à montrer que pour tout entier n, il existe un entier k tel que Uk<=n<Uk+1.
    J'ai une question avant, ton exercice, tu as à le faire pour quand. Si c'est pour demain, je peux te donner la solution en entier mais cela ne t'avancera à rien si tu n'as pas compris comment la retrouver. Je préfères te laisser chercher un peu. Il n'y a qu'en cherchant qu'on peut progresser.


    Donc pour arriver à ce résultat, il faut chercher un peu. Par intution, c'est assez facile à voir. Et c'est pas très difficile à démontrer. Néanmoins donne moi les pistes que tu as essayé de chercher
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  10. #7
    mimo13

    Re : nombres subsublimes

    Bonjour

    C'est vrai que c'est pas très évident pour un TS.
    De ma part, on peut interpréter cela comme une équation de Pell Fermat de la forme de solution particulière non triviale .

    Donc la suite de solution est bien .

    On veut une relation de récurrence entre les termes de la suite , assez simple c'est une suite linéaire récurrence de second ordre à coefficient constant, on obtient facilement:

    et

    Mais dans l'énoncé de l'exercice, il semble qu'on doit trouver une suite du premier ordre...
    Je vais y réfléchir

    Cordialement

  11. #8
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Bonjour

    C'est vrai que c'est pas très évident pour un TS.
    De ma part, on peut interpréter cela comme une équation de Pell Fermat de la forme de solution particulière non triviale .

    Donc la suite de solution est bien .

    On veut une relation de récurrence entre les termes de la suite , assez simple c'est une suite linéaire récurrence de second ordre à coefficient constant, on obtient facilement:

    et

    Mais dans l'énoncé de l'exercice, il semble qu'on doit trouver une suite du premier ordre...
    Je vais y réfléchir

    Cordialement
    C'est bien beau tout ça mimo mais tu ne prouves pas grand chose
    Bon je vais poster le pdf de la solution que j'ai trouvé. J'espère que cela vous conviendra. Cela n'utilises que les outils de TS

    Néanmoins ce n'est pas très clair. Mon idée a été de montrer que si il existait une solution compris entre Uh et Uh+1, alors il existe une solution compris entre Un et Un+1 pour tout n inférieur à h. Or pour n=0, U0=0 et U1=1, on comprend donc bien l'incohérence
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Dernière modification par hhh86 ; 24/01/2010 à 13h44.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  12. #9
    Giromon

    Re : nombres subsublimes

    C'est une recherche facultative pour demain. Je veux bien la correction ou le plan de correction car je ne vois pas où on va.
    Merci pour tout.

  13. #10
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    J'ai join un pdf comportant la démonstration complète
    Sache que j'ai fait ça vite fait et il y a des endroits où il peut peut-être y avoir des imprecisions
    Si tu as des questions, tu peux me les poser
    Dernière modification par hhh86 ; 24/01/2010 à 13h50. Motif: modif
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  14. #11
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Ah oui aussi, une petite précision :
    L'uncité de la solution et la stricte croissance de la suite implique la question b
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  15. #12
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Sinon je pense que t'aurais du poster ton problème dans forum du supérieur, c'est un peu plus approprié pour répondre à ton problème et ça aurait été plus rapide
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  17. #13
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    En relisant je m'aperçois qu'il y a un manque de clarté donc si tu n'as pas compris les étapes, n'hésites pas à m'interroger
    Aussi j'aimerais que, s'il y a des personnes spécialisées sur ce sujet dans ce forum, celles-ci donnent leur avis sur la solution proposée ou propose une solution un peu plus claire ou un peu plus courte pour que Giromon ait plusieurs versions.
    Ce serait bien aussi pour voir si j'ai fait des erreurs dans ma démonstration
    Dernière modification par hhh86 ; 24/01/2010 à 16h50. Motif: apport d'éléments complémentaires
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  18. #14
    mimo13

    Re : nombres subsublimes

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    C'est bien beau tout ça mimo mais tu ne prouves pas grand chose
    Bon je vais poster le pdf de la solution que j'ai trouvé. J'espère que cela vous conviendra. Cela n'utilises que les outils de TS
    ! tu dit que je n'ai rien prouver alors que tu aboutis au même résultat en 4 pages !!
    Excusez moi 4 page pour une tel exercice, quand même !
    Je peux démontrer le cas général des solutions d'une équation de Pell Fermat en une page avec des outils TS.

    Et pour la question de Giromon pas besoin de chercher a le montrer par absurde, il suffit de connaitre la relation liant deux solutions consécutives:


    Cordialement

  19. #15
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    ! tu dit que je n'ai rien prouver alors que tu aboutis au même résultat en 4 pages !!
    Excusez moi 4 page pour une tel exercice, quand même !
    Je peux démontrer le cas général des solutions d'une équation de Pell Fermat en une page avec des outils TS.

    Et pour la question de Giromon pas besoin de chercher a le montrer par absurde, il suffit de connaitre la relation liant deux solutions consécutives:


    Cordialement
    Le seul problème c'est que tu peux montrer que ta suite est solution de l'équation mais pas la réciproque
    C'est bien ce que je dis, tu ne prouves rien
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  20. #16
    hhh86

    Re : nombres subsublimes

    Mon intention est juste de savoir comment montrer l'unicité de la solution (plus simple que ma démonstration) avec les outils TS. Si tu as une idée, rédiges-la
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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