Produit scalaire (propriétés algébriques)

[FreakyFlow]

Bonjour,

Je rencontre une difficulté lorsqu'il s'agit d'utiliser la linéarité pour calculer des produits scalaires.

Par exemple :

ABCD est un carré de côté a et K le milieu du segment [BC]. Les points I et J sont tels que :

= et =.

En utilisant les propriétés algébriques du produit scalaire :
a)Calculer ..

J'utilise la relation de Chasles, .=(+).(+)

Mais comment calcule-t-on ce produit de somme de vecteur?
J'ai essayé avec les règles de distributivité classique mais en comparant mon résultat avec celui de la méthode du repère orthonormal (xx'+yy') je trouve : .=a²+(-a)Xa=0.
Donc (IJ) est orthogonal à (DK).
Comment retrouver cette égalité avec la première expression?
Quels sont les règles de distributivités? Le cours est fort simple, la preuve je n'arrive pas à l'appliquer

Merci
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[Rhodes77]

La "distributivité classique" fonctionne, vous avez eu le bon gout de faire apparaitre des relations de Chasles judicieuses, vous tenez le bon bout !
Souvenez vous simplement que si deux vecteurs ont meme direction et sens opposés, leur produit scalaire sera donné par l'opposé du produit de leur norme.
Reprenez

[FreakyFlow]

Bonjour,

ABCD est un carré de côté a. Donc AD=a.
.
Ici le sens de est le même que celui de soit de A vers I et A vers D.

En développant .=(+).(+) je trouve : .=..
Ce qui est faux.
L'opposé du et donc sa norme est le signe opposé de |||| Ok.

Je n'arrive pas à cerner mon erreur. Je parvient à me représenter la somme de plusieurs vecteurs mais pas le produit.

Cordialement.

[Rhodes77]

Ah c'est ça que vous appelez "distributivité classique" ? ah ben non ça ne marche pas
Je ne maitrise pas encore les vecteurs sous TeX, considérez que . désigne le produit scalaire, et que dans la suite, je ne parle que de vecteurs :
(u+v).(w+z)=u.v + u.z + v.w + v.z , càd la somme de quatre produits vectoriels ! On distribue les vecteurs dans le produits scalaire, et pas seulement leur norme. Lorsque vous distribuez les normes, vous obliez qu'il existe un angle entre les vecteurs, qui trainent des cosinus partout et changent la donne.
C'est plus clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[FreakyFlow]

Que pensez-vous de ceci :



=.

Or,
(Produit de vecteur d'un angle droit du carré ABCD).

Donc :=.
.

J'ai trouvé ceci en reprenant votre expression : (u+v).(w+z)=u.v + u.z + v.w + v.z sauf que je l'a développe comme la somme d'un produit "habituel" et non comme vous.

C'est juste puisque le résultat est nul mais du coup, c'est votre calcul que je ne comprend pas : (u+v).(w+z)=u.v + u.z + v.w + v.z
est-ce pas plutôt ici : (u+v).(w+z)=u.w + u.z + v.w + v.z!

Une erreur de frappe est vite arrivée. (ici v! à la place de w!)
Dans tous les cas merci car je pense que sans vos remarques, j'aurai zappé cet exo depuis le temps.

Cordialement.

[Rhodes77]

Roh oui bien sûr, excusez-moi ! Une inattention, mais vous avez su rebondir, et c'est tant mieux.
Bonne continuation