Pgcd

[invite6c146f6c]

Bonsoir, j'ai une petite question :

Si PGCD (x;y)=1
Montrez alors que
PGCD(xy;(x²+y²))=1

je coince un peu, si vous pouvez me donnez une piste merci
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Si PGCD (x;y)=1
Montrez alors que
PGCD(xy;(x²+y²))=1

Il suffit de trouver les valeurs possibles des diviseurs premiers communs à et .

[invite6c146f6c]

oula je vois pas trop comment faire...

[Flyingsquirrel]

Soit un nombre premier positif qui divise à la fois et . Quelles sont les valeurs possibles de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c146f6c]

logiquement il y aurait que 1, mais pour le démontrer rigoureusement je bloque un peu;

pour xy : d ={1,les décompositions en facteurs premier de x et y}

pour x²+y² d :... je sais pas comment les exprimés

[Flyingsquirrel]

divise et comme il est premier, il divise forcément l'un des deux facteurs. Tu peux commencer par supposer qu'il divise et voir ce que cela donne.

[invite6c146f6c]

d|x d'ou d|x²

de plus d|x²+y² soit d|y² et d|x²

or PGCD (x;y)=1 soit PGCD (x²;y²)=1 (je l'ai démontré lors d'un DS pour m'en servir)

d'ou d=1

[Flyingsquirrel]

d|x d'ou d|x²

de plus d|x²+y² soit d|y² et d|x²

or PGCD (x;y)=1 soit PGCD (x²;y²)=1 (je l'ai démontré lors d'un DS pour m'en servir)

d'ou d=1

Oui et l'on a le même résultat si l'on suppose que .

[invite6c146f6c]

Merci beaucoup et bonne soirée

[Flyingsquirrel]

Je peux te demander comment tu as fait pour conclure ?

[invite6c146f6c]

d|x²+y² d|xy or PGCD(x;y)=1 d'ou d|1 et d>0 donc d=1

avec les reste au milieu évidement.

[Flyingsquirrel]

...donc d=1

Ce qui m'intéresse c'est la suite. On a montré que si est un diviseur premier commun à et à alors il vaut 1 (qui n'est pas premier). Comment en déduis-tu que ?

Ça n'est pas compliqué mais je préfère être sûr que tu pars avec une réponse correcte.

Il est surement possible de répondre à la question dans le premier message sans utiliser le raisonnement par l'absurde. À vrai dire je n'ai pas beaucoup réfléchi avant de poster le message n^o2.

[invite6c146f6c]

Comme il n'y a pas de diviseurs premiers commun au deux, il n'y a pas de diviseurs commun autre que 1 puisque tout entier naturel >1 se décompose en produit de facteur premier. On est donc sur que d=1 est la seul solution possible.

[Flyingsquirrel]

Comme il n'y a pas de diviseurs premiers commun au deux, il n'y a pas de diviseurs commun autre que 1 puisque tout entier naturel >1 se décompose en produit de facteur premier. On est donc sur que d=1 est la seul solution possible.

Oui, c'est exactement ça.

Bonne fin de soirée.