Des propriétés des intégrales et primitives

[invitec17b0872]

Bonjour,

On m'a posé une question à laquelle je n'ai pas su répondre. Il s'agit de faire le lien entre le fait qu'une primitive de f soit -à la fois l'aire sous la courbe de f (dans un domaine, donc au sens de l'intégrale) et -la fonction qui, quand on la dérive, donne f.

L'écriture de Leibniz -je crois- traduit bien la somme limite de rectangles élémentaires de largeur dx sous la courbe, et permet d'intuiter naturellement, ou du moins d'une manière géométrique, que cette grandeur est l'aire sous la courbe.

Mais comment se fait-il que cette même aire, évaluée entre 0 et x, donne f(x) ?! (à supposer qu'on intègre sur une autre variable muette, j'entends bien).
Comment faire saisir, autrement que par une définition qu'il faudrait admettre, à un novice, que ces deux propriétés sont liées ?

En espérant que vous saurez m'éclairer sur cet aspect pédagogique, merci d'avance !
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[sylvainc2]

Si j'ai bien compris, tu veux une démonstration que si F=integrale( f(t) dt ) alors f=F' , c.a.d. f est la dérivée de F et inversement F est l'antidérivée ou primitive de f, c'est çà?

Il y a un applet flash ou java sur cette page:
http://archives.math.utk.edu/visual....c.9/index.html
au paragraphe:
"Check out the proof of the Fundamental Theorem, proof of part two"
en anglais mais c'est facile à comprendre.

[invitec17b0872]

Je ne sais pas si j'ai été très clair. Je considère d'une part l'intégrale au sens de Riemann (dans son sens géométrique donc), et d'autre part l'intégrale comme fonction qui, quand on la dérive, rend f.
Ce sont, à mon sens, deux définitions différentes, et qui pourtant coïncident. Et je voudrais savoir par quelle raison. Voilà.
En attendant je vais détailler le lien, merci

[invitec17b0872]

Ah merci, le lien répond bel et bien à ma question ! Merci beaucoup c'est gentil à vous !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

je tombe sur cette discussion.... bon juste pour signaler qu'il n'y a pas de "définition" de l'intégrale en terme d'aires. Il existe plusieurs définitions, ou plutot facon de construire, une intégrale qui a les propriétés courante de ce qu'on appelle intégrale de Riemann. Le second "type" d'intégrale, c'est l'intégrale de Lebesgue. Sachant qu'au niveau lycée, l'intégrale d'une fonction continue n'est pas vraiment constuite, mais intuité comme limite de somme d'aires. Ce que des gens appellent des sommes de Riemann. Ceci "étant" dit sur le terme "définition", la démonstration donnée dans l'application est bof : elle utilise qu'une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, et à l'air de dire qu'en faisant tendre la longueur d'un intervalle vers zéro, le minimum de fonction sur cet intervalle tend vers le maximum, ils écrivent



C'est certes intuitif, mais écrit comme cela, ca ne veut pas dire grand chose. Bon une démo claire et mathématique : Soit un intervalle ouvert, , et continue. Montrons que



est dérivable en tout point et que . Soit . Et soit suffisament petit pour que (je suppose h > 0 pour simplifier un peu, mais en fait ca change pas grand chose). Alors, par relation de Chasles, on calcule



Soit maintenant . Puisque la fonction f est continue au point , il existe tel que



Remarquant que



le calcul précédent montre que



dès que . Pour conclure, on a montré que



Ce qui signifie exactement que



Puis que F est dérivable au point x_0 avec . Bien évidemment, cette preuve n'est pas admissible d'un lycéen, j'ai cru comprendre qu'au oraux du capes de maths, le jury a bien de la peine à l'obtenir....

Ceci dit l'animation graphique permet de faire comprendre - intuiter - à un lycéen le fond de la preuve...

[invitee4ef379f]

Bonjour,

J'ai pour ma part une explication très grossière, mais qui peut introduire l'association aire/primitive, du moins en terminale.

Il suffit pour cela de partir de la définition des primitives: si F est une primitive de f, alors F'(x)=f(x).

On a donc en x=a:

(1)

(2)



Cherchons maintenant à calculer la portion d'aire dA sous la courbe représentative de f entre les points d'abscisse a et a+h, avec h petit.




Il n'y a plus qu'à sommer les portions d'aires sous la courbe de f entre deux points d'abscisse respective a et b pour trouver que l'aire totale est égale à F(b)-F(a).

Cependant cette explication n'a rien de rigoureux, surtout le passage entre (1) et (2). Je préfère l'explication du lien de sylvainc2 qui se rapproche plus de la preuve donnée par xav75.