Probabilités avec une urne et des boules

[invite2a4a9a7f]

Bonjour!! J'ai un exercice sur les probabilités (et ce n'est pas mon fort!)
J'hésite pour le 1) et ça me bloque du coup car si je me trompe au 1 et au 2 je ne peux pas réussir le 3).


Une urne contient 3 boules jaunes, 2 boules blanches et 2 boules rouges. On tire succéssivement 2 boules de cette urne. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de boules jaunes tirées et Y le nombre de boules blanches tirées.

1. Déterminer les valeurs possibles de X, la loi de probabilité de X, l'espérance et l'écart type de X.
2. Même question avec Y.
3. Soit Z la variable aléatoire définie par Z=X+Y.
Soit N la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées.
Exprimer Z en fonction de N.
En déduire la loi de probabilité de Z.
4. Calculer E(Z) ei l'écart type de Z




Pour le 1)

je trouve que les valeurs de X sont 0,1,2
mais je n'arrive pas à déterminer la probabilité de X=0 , X=1, X=2
combien y a t-il de possibilités ?


C'est là que je bloque , pouvez vous m'aider ?


merci beaucoup!
-----

[invite51d17075]

bonjour,

pour le debut,
il y a 3 boules jaunes et 4 autres boules
donc P(X=0) c'est deux tirages de suite sans une jaune
soit pour le premier
4/7 et pour le second
3/6 ( puisqu'on a déjà enlevé une boule d'une autre couleur)
donc
P(X=0)=(4/7)*(1/2)=2/7

maintenant P(X=2)
deux tirages de boules jaunes
premier tirage
3/7 et deuxième
2/6 toujours avec le même raisonnement
P(X=2)=(3/7)*(2/6)=1/7

a toi de trouver pour P(X=1)

[invitee4ef379f]

Bonjour,

je trouve que les valeurs de X sont 0,1,2
mais je n'arrive pas à déterminer la probabilité de X=0 , X=1, X=2
combien y a t-il de possibilités ?

Effectivement il y a 3 boules jaunes dans l'urne, donc sur 2 tirages successifs, on en tire au total soit 0, soit 1, soit 2.

Avant de parler de probabilités, sais tu s'il y a remise ou non (si on remet les boules dans l'urne à chaque tirage)? Car cela affectera la probabilité finale.

Enfin, et malgré la remise (ou non), on calcule toujours la probabilité de tirer une boule d'une couleur donnée comme étant égale au nombre de boules de cette couleur sur le nombre total de boules.

La probabilité de tirer une seule boule jaune sur deux tirages est donc la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage et une boule non jaune au second tirage, plus la probabilité de tirer une boule non jaune au premier tirage et une boule jaune au second tirage.

Où est ce que ces considérations t'amènent?

Edit: coiffé au poteau par ansset!

[invite51d17075]

je suis pas certain que ce soit sans remise plume , mais vu l'énoncé, je l'ai supposé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a4a9a7f]

alors, tout d'abord merci pour vos réponses!

je précise: c'est un tirage sans remise.


p(X=1) = 4/7

Je trouve E(X) + 6/7 environ égal à 0.85

Et l'écart type sigma (X) = 0.64 environ




Pour Y, pouvez vous me dire si c'est bon :
Pour P(Y=2) = 1/21 car il n'y a que 2 boules blanches

après je coince un peu :

P(Y=0) = 10/21 ?

[invite51d17075]

Pour Y, pouvez vous me dire si c'est bon :
Pour P(Y=2) = 1/21 car il n'y a que 2 boules blanches

après je coince un peu :

P(Y=0) = 10/21 ?

pour moi c'est bon, par contre je n'ai pas verifié les ecarts types...

[invite2a4a9a7f]

les ecarts types, je les ai avec ma calculatrice de toutes façons


je trouve pour le reste :

P(Y=0) = P(Y=1) = 10/21

E(Y) = 4/7 = 0.57
Ecart type (Y) = 0.58

Pourriez vous m'aider pour les 3 et le 4 ?

3. Soit Z la variable aléatoire définie par Z=X+Y.
Soit N la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées.
Exprimer Z en fonction de N.
En déduire la loi de probabilité de Z.
4. Calculer E(Z) ei l'écart type de Z

* * *

N: nombre de boules rouges
Z= X+Y : nombre de boules jaunes + nombre de blanches

Et j'ai trouvé que quand P(X=0) et P(Y=0) (pas de jaunes, pas de blanches) P(N=2) (car il n'y que cette possibilité de couleur du coup)


Je ne comprend pas comment exprimer Z en fonction de N.

[invite51d17075]

Je ne comprend pas comment exprimer Z en fonction de N.

il me semble que c'est plus du raisonnement que du calcul.
si Z=boules jaunes+blanches après les deux tirages.

si une boule rouge, c'est une de moins des autres couleurs.
donc simplement
Z=2-N

à moins que je ne me trompe sur le sens de Z

[invite2a4a9a7f]

Ok merci beaucoup! j'avais compris cela alors.
(j'avais noté N= 2 - (X+Y) = 2 - Z )


mais depuis tout à l'heure je bloque sur la loi de probabilité. Il suffit d'appliquer la relation n'est ce pas ? ce que je fais est long, je crois que je me trompe:

Si P(X=0;Y=0) , P(N=2)
Si P(X=0;y=1), P(N=1)
Si P(X=0) et P(Y=2) , P(N=0)

je dois faire toutes les possibilités comme ça ou je me trompe ??

....Et du coup, je ne vois pas comment calculer E(N) et e-type (N).

[invite51d17075]

peut être te compliques-tu un peu la vie.
il y a autant de boules rouges que de blanches.
donc les P(rouges) = P(blanches) ( pour le même nombre )
et le calcul tu l'a déjà fait pour les blanches
et comme
P(Z) depend inversement du P(rouges) il suffit de faire des
P(Z=2)=1-P(rouge=0)
P(Z=1)=1-P(rouge=1) etc
et après avec ta calculette pour les ecarts types.

[invite2a4a9a7f]

je suis désolée mais je ne comprend pas...

P(rouges) = P(blanches) ( pour le même nombre )
P(Z=2)=1-P(rouge=0)
P(Z=1)=1-P(rouge=1) etc ( je ne comprend pas désolée )


et je ne vois pas quoi rentrer dans ma calculette pour les écarts types.


J'ai essayé de faire un tableau:

N 0 1 2

P(N) P(X=0) et P(Y=2) P(X=0;y=1) P(X=0;Y=0)

Je me trompe ??

[invite2a4a9a7f]

est-ce que c'est correct ?

Z = X +Y

donc P(z) = p(x) + p(y)

d'où P(z=1) = p(x=1) + p(y=1)

P(z=2) = p(x=2) + p(y=2)
P(z=0) = p(x=0) + p(y=0)



ou bien il faut se servir de Z= 2-N

donc

P(Z=0) = 2 - P(N=0) etc...

[invite51d17075]

est-ce que c'est correct ?

Z = X +Y

donc P(z) = p(x) + p(y)

d'où P(z=1) = p(x=1) + p(y=1)

P(z=2) = p(x=2) + p(y=2)
P(z=0) = p(x=0) + p(y=0)



ou bien il faut se servir de Z= 2-N

donc

P(Z=0) = 2 - P(N=0) etc...

non, ça ce n'est pas correct.
on ne tire que 2 boules
donc on ne peut pas tirer à la fois 2 boules jaunes et deux boules blanches ( et donc pas additionner p(x=2) et P(y=2))

mais j'ai dit une grosse betise dans mon dernier message.

si je reprend au depart: on avait ( X boules jaunes )
P(X=0)=2/7
P(X=1)=4/7
P(X=2)=1/7
et aussi ( Y boules blanches )
P(Y=0)=10/21
P(Y=1)=10/21
P(Y=2)=1/21

si N le tirage d'une rouge.
comme il y a au depart autant de rouges que de blanches, on calculerait de la même manière
P(N=0)=10/21 ; P(N=1)=10/21 ; P(N=2)=1/21

Z est l'évenement : ou bien jaunes ou bien blanches, soit l'evenement " pas rouge".
d'ou
Z=2-N

donc Z=0 implique le tirage de 2 boules rouges
P(Z=0)=P(N=2)=P(Y=2)=1/21
et non pas 1-P(N=2) comme je l'ai ecrit ( enorme erreur d'inatention de ma part )
de même
P(Z=1)=10/21
P(Z=2)=10/21

on peut retrouver ces chiffres autrement
P(Z=1) soit une boule blanche ou jaune ( une seule )
donc (5/7)*(2/6) ( tirage b ou j puis tirage rouge )
+( 2/7)*(5/6) ( tirage rouge puis tirage b ou j )
donc
P(Z=1)=2*(10/42)=10/21

désolé pour mon cafouillage

[invite2a4a9a7f]

Merci pour votre réponse.

Je n'ai vu le message hier, mais j'ai réussi toute seule en cherchant
ce n'est "très bien" rédigé mais j'ai réussi l'exercice et j'ai réussi à calculer E(Z) et sigma(Z).

merci pour votre aide!