Bloqué dans un exercice Logarithme népérien
Voilà sur l'image suivant je suis bloqué sur le problème n°1,dans la partie B.1° et 2°:
http://img695.imageshack.us/img695/4642/imgeh.jpg
J'ai essayé de remplacer x par ln x,ensuite l'équation ne contient que des ln x que j'ai remplacé par X,et je trouve deux solutions qui sont:
X1=1 ou X2=0
ln x=ln e ou ln x=ln 1
x=e ou x=0
Mais pour ces solutions l'équation (E) ne s'annule pas.
Je voudrai savoir comment faire le B.1° et 2°.
Merçi.
La rédaction de l'énoncé n'est pas terrible, c'est vrai. En particulier, il faut bien distinguer les F et les f.
L'idée est que, dans la partie A, tu as étudié la variation de f(x) en calculant f'(x).
Tu dois voir que f(x) est toujours négative.
Mais f(x) n'est autre que F'(x) donc tu as le signe de la dérivée de F, donc sa variation.
Tu calcules les 2 valeurs particulières et tu conclus.
Merçi de ta réponse,mais je n'arrive pas à chercher les solutions pourEnvoyé par Jeanpaul
La solution (E)=0
Quel est la démarche à entreprendre?
Ce n'est pas E qui vaut zéro, c'est F(x) pour une certaine valeur de x.
As-tu réussi à démontrer que la fonction F(x) était toujours décroissante ?
As-tu calculé F(exp(-2)) et F(1) ? Qu'en as-tu conclu ?
Oui j'ai bien montré que F(x) était décroissante sur l
intervalle ]0;+oo[:
Limite de F(x) en 0=+oo
Limite de F(x) en +oo=-oo
Donc toujours décroissante sur l'intervalle R+*.
Mais je ne sais pas du tout comment remplacer ℮-2 et 1 dans F(x).
-F(x)=ln x+(ln x)²-2x
-F(1)=ln 1+(ln 1)²-2*(1)
=0+0-2
=-2
-F(℮‾²)=ln (℮‾²)+(ln (℮‾²))²-2*(℮‾²)
≈-2+4-0.2706705665
≈1.729329434
J'ai essayé tout ça:
-F(x)=ln x+(ln x)²-2x
-F(1)=ln 1+(ln 1)²-2*(1)
=0+0-2
=-2
-F(ln ℮)=ln ℮+(ln ℮)²-2*(ln ℮)
=1+1-2
=0
-F(ln ℮)=ln (ln ℮)+[ln (ln ℮)]²-2*(ln ℮)
=0+0-2
=-2
-F(℮‾²)=ln (℮‾²)+(ln (℮‾²))²-2*(℮‾²)
≈-2+4-0.2706705665
≈1.729329434
C'était bien parti, mais là je ne suis plus :
F(ln ℮)=ln ℮+(ln ℮)²-2*(ln ℮)
=1+1-2
=0
ln(e) ça vaut 1 et rien d'autre
A part cela, tu y es presque, il suffit de dire que F est une fonction décroissante entre exp(-2) et 1 car exp(-2) <1 donc elle passe par zéro une seule fois, du fait de sa continuité.
F(ln ℮)=ln ℮+(ln ℮)²-2*(ln ℮)
ln ℮=1
(ln ℮)²=1
-2*(ln ℮)=-2
Le tout additionné est égal à:
F(ln ℮)=1+1-2=0
Mais non, regarde bien :
F(ln(e)) = ln(ln(e)) + ln²(ln(e)) - 2 ln(e)
soit exactement ce que tu as calculé juste avant avec F(1) !
Ah oui moi non plus je suis totalement perdu,je ne sais plus quoi faire j'ai tout éssayé mais je n'y arrive pas.
Tu recopies ça :
F(1)=ln 1+(ln 1)²-2*(1)
=0+0-2
=-2
F(℮‾²)=ln (℮‾²)+(ln (℮‾²))²-2*(℮‾²)
≈-2+4-0.2706705665
≈1.729329434
et tu constates que F(1) et F(exp(-2)) ont des signes opposés donc qu'il y a une racine entre les deux, qui est x0. On peut même dire que x0 est à vue de nez à mi-chemin entre les deux.
Tu évites, si possible de mettre des tirets qui ressemblent à des signes moins.
Mais le souci c'est que dans l'exercice "e est le nombre défini par ln e=1.Montrer que l'équation (E) admet une solution unique x0 dans [℮‾²;1]."
Donc on remplace x par ln e et pas 1?
Mais lorsqu'on calcule F(℮‾²) ce n'est pas égal à 1?
Comment trouver cette solution unique?
Remplacer x par ln(e) ou par 1, c'est pareil !
Ton calcul est juste, rien à faire de plus. Tu as vu que ln(exp(-2)) = -2 et tu as fait un calcul approché de F(exp(-2))
Pour calculer une valeur approchée de x0 tu tâtonnes avec ta calculette ou Excel.
C'est exact! +1 "Remplacer x par ln(e) ou par 1, c'est pareil !"
ln(exp(-2)) = 1.729329434 c'est quelque chose de positif et non négatif,donc comment trouver cette solution unique xo,en plus je possède la calculatrice Texas Instruments TI-82 Stats.fr mais je ne sais pas trob bien l'utilisé. v_v'
Tu as donc vu que x0 était plus grand que exp(-2) = 0,135 et moins que 1
Tu essaies x=0,2, ça fait un F(0,2) positif donc x0>0,2
Tu essaies x=0,5, ça fait un F(0,5) très négatif donc x0 très <0,5
Tu essaies x=0,3 et de proche en proche, tu vas trouver que x0 est voisin de 0,25
f(0,2)=0.5808524816
f(0,3)=-0.3544222904
f(0,5)=-0.2126941667
Ca ne peut pas être juste car F(0,5) <F(0,3) parce que la fonction décroît.
Oui mais je ne vois toujours pas comment expliquer pour la solution unique xo.
C'est un théorème de ton cours : si une fonction CONTINUE varie entre 5 et -3 pour x variant de 2 à 7, alors il existe forcément une valeur de x entre 2 et 7 pour laquelle la fonction vaut zéro.
Si, de plus, la fonction est strictement décroissante, alors cette valeur est unique.
Ca se devine en traçant la courbe mais c'est bien un théorème (qu'on ne démontre pas dans le secondaire).
théorème des valeurs intermédiaires pour être précis
Pour l'unicité ; théorème de la bijection dans le cas ou la fonction est strictement monotone sur l'intervalle d'étude bien entendu
