Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide.
Exercice 1:
Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm)
1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0.
2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par :
g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3)
Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
ln(1+x) <ou= x - x²/2 + x^3/3
b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors :
ln(1+x) >ou= x - x²/2
c)Etablir que pour tout x strictement positif on a :
-1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3
En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2
3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x)
Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[
b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x²
c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini
d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j)
Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0.
Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.
Exercice 2:
Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin?
Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme.
Merci d'avance pour votre aide et vos explications.
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Envoyé par Bond001 