Exercices logarithme
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Exercices logarithme



  1. #1
    inviteb55a2a32

    Exercices logarithme


    ------

    Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide.

    Exercice 1:

    Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm)

    1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
    et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0.

    2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par :
    g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3)
    Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
    ln(1+x) <ou= x - x²/2 + x^3/3

    b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors :
    ln(1+x) >ou= x - x²/2

    c)Etablir que pour tout x strictement positif on a :
    -1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3
    En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2

    3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x)
    Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[
    b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x²
    c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini
    d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j)
    Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0.
    Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.

    Exercice 2:

    Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin?


    Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme.
    Merci d'avance pour votre aide et vos explications.

    -----

  2. #2
    portoline

    Re : Exercices logarithme

    Citation Envoyé par Bond001 Voir le message
    Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide.

    Exercice 1:

    Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm)

    1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
    et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0.

    2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par :
    g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3)
    Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
    ln(1+x) <ou= x - x²/2 + x^3/3

    b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors :
    ln(1+x) >ou= x - x²/2

    c)Etablir que pour tout x strictement positif on a :
    -1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3
    En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2

    3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x)
    Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[
    b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x²
    c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini
    d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j)
    Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0.
    Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.

    Exercice 2:

    Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin?


    Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme.
    Merci d'avance pour votre aide et vos explications.
    bonjour
    pour exo 2 si on prélève 1 litre le 1er jour , la raison de la suite géo est 227/228 ; quand y'aura autant d'eau que de vin , Un/U0 vaudra 1/2 donc pour trouver n , on fait ln.5/ln(227/228) soit 158 arrondi donc 158 jours

  3. #3
    inviteb55a2a32

    Re : Exercices logarithme

    J'ai à peu près fini l'exercice 1.

    Par contre, pour le 2. Je ne comprend pas bien d'où sort le 227/228?

  4. #4
    portoline

    Re : Exercices logarithme

    Citation Envoyé par Bond001 Voir le message
    J'ai à peu près fini l'exercice 1.

    Par contre, pour le 2. Je ne comprends pas bien d'où sort le 227/228?
    bonjour : il s'agit d'une suite géométrique U0 =228
    U1 = 227 puisque le 1er jour , on prélève 1 litre ( il reste 227 litres le 1er jour ) donc la raison de la suite est U1/U0 soit 227/228 ( la quantité d'eau qu'on remet ne sert qu'à faire le plein )

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteb55a2a32

    Re : Exercices logarithme

    Donc soit Vp,n: le volume de vin prélève au nième jour, alors
    Vp,n+1=(227/228)^n?
    et donc on fait 1/2< (227/228)^n
    ce qui fait ln (1/2)<ln(227/228)^n
    ln(1/2)/ln(227/228)<n
    157.7<n
    donc 158. Mais pourquoi ne fait-on pas alors 1/2>(227/228)^n?

  7. #6
    portoline

    Re : Exercices logarithme

    Citation Envoyé par Bond001 Voir le message
    Donc soit Vp,n: le volume de vin prélève au nième jour, alors
    Vp,n+1=(227/228)^n?
    et donc on fait 1/2< (227/228)^n
    ce qui fait ln (1/2)<ln(227/228)^n
    ln(1/2)/ln(227/228)<n
    157.7<n
    donc 158. Mais pourquoi ne fait-on pas alors 1/2>(227/228)^n?
    c'est comme si tu demandes quelle est la différence entre un verre à moitié vide et un verre à moitié plein !

  8. #7
    inviteb55a2a32

    Re : Exercices logarithme

    Merci beaucoup pour votre aide.

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