Etude de logarithme TS

[invitee0ecdd3f]

Soit f la fonction définie par f(x)=ln(ex-1/ex+1) et D son ensemble définition. Pour chacune des quatre affirmations suivantes dire si elle est vrai ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.

1)D= ]0;+oo[
Pour cette question je n'y arrive pas du tout. J'ai pensé au limites mais sa ne donne rien... Grâce à la calculatrice je sais que c'est vrai mais je ne sais pas comment le justifier

2)f est dérivable sur D et: pour tout x appartenant à D, f'(x)=2ex/e2x-1
Pas de problème pour celle là, je trouve vrai.

3)Pour tout x appartenant à D, f(x)<0
Problème pour cette question. J'ai tout d'abord pensé à faire un tableau de signe mais je n'arrive pas à trouver quelque chose, je bloque tout. Ensuite j'ai pensé à faire le tableau de variation de f(x) grâce au signe de f'(x) et calculer ensuite les limites. Je trouve -oo quand x tend vers 0 et 0 lorsque x tend vers +oo. Pour répondre à l'affirmation il faut que je trouve 0- pour la limite en +oo. (La calculatrice m'indique que cette affirmation est vraie.)

4)ln(e-1/e+1) est l'unique solution de l'équation f(x)=-1
Je le trouve sans problème grâce au théorème de la bijection.

J'ai vraiment besoin de votre aide!
Merci d'avance! =)
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[invite5150dbce]

on peut facilement voir que x|-->ex-1/ex+1 est définie sur IR car exp>0 pour tout x de IR
De plus ln est définie sur ]0;+inf[

f=uov avec u(x)=ln(x) et v(x)=ex-1/ex+1
f est définie lorsque x appartient à Dv et ex-1/ex+1 appartient à Du
<=>x appartient à IR et ex-1/ex+1>0
<=>ex-1/ex+1>0
Or pour tout x appartenant à IR ex+1>0 puisque ex>0
Donc f est définie lorsque ex-1>0
<=>ex>1
<=>ex>e0
<=>x>0
Df=]0;+inf[

[invite5150dbce]

Pour la 2 je n'ai pas vérifié

3)Pour tout x appartenant à D, f(x)<0

-1<1
<=>ex-1<ex+1
Or pour tout x appartenant à IR ex+1>0 puisque ex>0 donc 1/(ex+1)<0
On a donc (ex-1)/(ex+1)<1
Donc pour tout x appartenant à D, ln[(ex-1)/(ex+1)]<ln(1)
Pour tout x appartenant à D, f(x)<0

[invite5150dbce]

Pour la 4 je suis pas d'accord
Raisonnons par l'absurde et supposons que ln(e-1/e+1) est une solution de l'équation f(x)=-1
Donc ln(e-1/e+1)>0
<=>e-1/e+1>e0
<=>e-1/e+1>1
<=>(e-1-1-e)/(e+1)>0
<=>-2/(e+1)>0, ce qui est absurde
Donc ln(e-1/e+1) n'est pas une solution de l'équation f(x)=-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0ecdd3f]

Un très grand merci pour votre aide!! J'ai compris où étais mes erreurs dans mon resonnement.
Encore une fois merci!