Probabilités conditionnelles

[invite03d3322d]

On considere une particule ne pouvant occuper que deux positions A et B .Elle se deplace aleatoirement de l'une à l'autre de la façon suivante :
* au temps 0, la particule est en A
* au temps 1, la particule est soit en A1 ou soit en B1.
* au temps 2, la particule est soit en A2 ou B2 de la branche A1 et la particule est soit en A2 ou B2 de la branche B1
* au temps n, la particule est soit en A, soit en B

On sait que la probabilité pour que la particule ne chmpe pas de position entre les instants n et n+1 est constante. On considère les évènements :
* An : " au temps n la particule est en A "
*Bn : "au temps n la particule est en B"
On note Kn et Tn les probabilités des évènements An et Bn.
1) A l'aide des hypothèses, justifier que K0=1 et Kn+Tn=1.

2)a) Quelle hypothèse permet d'affirmer que PAn(An+1 )ne dépend pas du temps? On note R cette probabilité.

b) Justifier que, pour tout entier naturel n , on a PBn(Bn+1)=R

3) a)Calculer, en fonction de R et Tn, la probabilité de l'évènement Bn (inter) An+1

b)Démontrer quen pour tout entier naturel n, on a : Kn+1=(2R-1)Kn+1-R

c) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, en déduire que pour tout entier naturel n, on a : Kn= (2R-1)^n)/(2) + 1/2

d) Déterminer la limite de la suite (Kn) quand n temps ver + et interpréter le résultat.
Si quelqu'un peut m'aider à commencer cet exo, ça serait vraiment gentil, car je n'y arrive pas...
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[invite5d6e1ffa]

bonjour,
voila des indications si ça peut aider !
* au temps 0, la particule est en A
On sait que la probabilité pour que la particule ne change pas de position entre les instants n et n+1 est constante=R.
la probabilité de l'évènement Bn (inter) An+1=p(Bn ).(1-R)
remarquer que:
(Bn+1 (inter) An) (union) (Bn+1 (inter) Bn) =Bn+1
et calculer p(Bn+1)

[invite350f03c3]

Bonjour,
Je n’arrive pas bien à saisir pourquoi
(Bn+1 (inter) An) (union) (Bn+1 (inter) Bn) =Bn+1

Pourriez-vous détailler SVP.

J’ai essayé de développer tant bien que mal, ça a donné :
An x (1-R) + Bn x R
= An – RAn + RBn
= R (- An + Bn) + An

Même si ce n’est pas le résultat recherché, est-ce au moins correcte mathématiquement ?

Merci.

[invite51d17075]

3) a)Calculer, en fonction de R et Tn, la probabilité de l'évènement Bn (inter) An+1

b)Démontrer quen pour tout entier naturel n, on a : Kn+1=(2R-1)Kn+1-R

c) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, en déduire que pour tout entier naturel n, on a : Kn= (2R-1)^n)/(2) + 1/2

d) Déterminer la limite de la suite (Kn) quand n temps ver + et interpréter le résultat.[/B]
Si quelqu'un peut m'aider à commencer cet exo, ça serait vraiment gentil, car je n'y arrive pas...

je ne sais pas ou tu coinces.
les questions 1) et 2) sont immédiates car elle se deduisent de l'énoncé lui-même.

pour la 3):
Bn(inter)An+1 veut dire qu'on enchaine deux evenements.
on est en Bn , donc proba Tn
puis on est en An , proba d'un changement de position donc (1-R)
donc la proba de ce "scénario" est : (1-R)Tn

ensuite:
Kn+1 peut venir de An directement ou de Bn
soit l'addition de
R*Kn ( venant de An )
+ (1-R)Tn ( venant de Bn : c'était la question précedente )

hors Tn=1-Kn , en remplacant tu trouvera l'équation demandée.

[A voir en vidéo sur Futura]