Enigme à résoudre

[invite363d24c1]

Bonjour
Alors voilà, un membre de ma famille m'a donné une énigme et je n'arrive vraiment pas à la résoudre par des moyens mathématiques. J'ai trouvé la réponse en bricolant, mais il doit y avoir un moyen plus efficace. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Voici l'énigme :
"Si j'ajoute au produit du jour de ma naissance par 12, le produit de mon mois de naissance par 31. J'obtiens 232. Quelle est alors ma date de naissance?"
Merci d'avance !
-----

[Seirios]

Bonjour,

Si tu notes x le jour de sa naissance et y le mois, ton problème revient à résoudre , c'est-à-dire une équation diophantienne. En utilisant l'algorithme d'Euclide, on trouve que , d'où en multipliant par 232 : . Donc grâce à cette solution particulière, on peut réécrire l'équation comme . En notant et , on a donc . Donc puisque 12 et 31 sont premiers entre eux (théorème de Gauss), 12 divise Y, c'est-à-dire que l'on peut écrire , avec k un entier relatif. Donc . Donc l'ensemble des solutions est .

Comme on veut que et , on ne devrait trouver qu'une seule solution au problème. Sauf qu'il n'y aucune solution qui réponde à ces conditions, donc j'en déduis que le problème n'a pas de solution

Quelle solution as-tu trouvée ? (j'ai peut-être fait une erreur de calcul)

[invite363d24c1]

Alors en bricolant, j'ai trouvé le o9 Avril.
Je te remercie

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Si tu poses j le jour de ta naissance et m ton mois de naissance, quelle relation peux-tu écrire à partir de l'énigme ?

Tu as une seule équation avec deux inconnues (m et j) mais tu sais que m et j sont des entiers naturels non nuls et j<31 et m<12.
Donc une fois que tu as exprimé j en fonction de m (tu peux faire m en fonction de j mais pour la suite cela risque d'être plus long ), tu fais une étude de cas.
Remarque : normalement, tu dois voir tout de suite que "tu" es né(e) avant le mois d'août et m est pair.

Duke.

EDIT : j'ai été long sur le coup... Grillé
Re-EDIT : Je trouve aussi le 9 avril

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

Salut, bienvenue sur le forum,

C'est effectivement le 9 avril.

Si tu poses les inconnues une par une et que tu y vas étape par étape, c'est tout simple.
Inconnues:
"jour de ma naissance" = j
"mois de ma naissance" = m
tu poses l'équation:
12j + 31m = 232

C'est une équation à 2 inconnues. Il y a différentes façons de procéder, mais le mieux ici est de la réécrire comme ça:
232 - 31m = 12j
Autrement dit, le nombre "232-31m" est un multiple de 12, qui est d'ailleurs forcément plus petit que 232-31=201 puisque m vaut au minimum 1. D'ailleurs, tu vois que m vaut au maximum 7, sinon "232-31m" devient plus petit que 12, et j vaut au moins 1 donc c'est impossible. Les solutions possibles de 232-31m pour m=1,2,...,7 sont donc:
232-1*31=201
232-2*31=170
232-3*31=139
232-4*31=108
232-5*31=77
232-6*31=46
232-7*31=15
Le seul de ces résultats à être multiple de 12 est 108, donc j=9 et m=4 --> 9 avril.

Bon, d'accord, c'est aussi un peu du tâtonnement sur la fin, mais bon... ça fait juste 7 petits calculs à faire. Le reste se déduit logiquement.

[Duke Alchemist]

Bon, d'accord, c'est aussi un peu du tâtonnement sur la fin, mais bon... ça fait juste 7 petits calculs à faire. Le reste se déduit logiquement.

Il est possible de n'en faire que 3 car m est forcément pair pour espérer que le numérateur soit divisible par 12
Cordialement,
Duke.

[invite3ba0dddb]

salut,
le 9 avril marche
4*31+9*12=232

EDIT: eh ben il y en a du monde sur cette discussion^^

[invite363d24c1]

Aah d'accord, j'ai compris
Merci à vous tous. Merci beaucoup !

[Seirios]

Bonjour,

Si tu notes x le jour de sa naissance et y le mois, ton problème revient à résoudre , c'est-à-dire une équation diophantienne. En utilisant l'algorithme d'Euclide, on trouve que , d'où en multipliant par 232 : . Donc grâce à cette solution particulière, on peut réécrire l'équation comme . En notant et , on a donc . Donc puisque 12 et 31 sont premiers entre eux (théorème de Gauss), 12 divise Y, c'est-à-dire que l'on peut écrire , avec k un entier relatif. Donc . Donc l'ensemble des solutions est .

Comme on veut que et , on ne devrait trouver qu'une seule solution au problème. Sauf qu'il n'y aucune solution qui réponde à ces conditions, donc j'en déduis que le problème n'a pas de solution

En écrivant , c'est mieux...

Sinon, il suffit de résoudre les 12 équations avec pour vérifier que la seule solution est bien le 9 avril.

[invitea29b3af3]

Il est possible de n'en faire que 3 car m est forcément pair pour espérer que le numérateur soit divisible par 12

Effectivement. Où avais-je la tête

[invitea3b56fce]

En écrivant , c'est mieux...

Sinon, il suffit de résoudre les 12 équations avec pour vérifier que la seule solution est bien le 9 avril.

Ou sinon tu reprend Gauss avec l'expression (correcte ) tu trouve k=97 (tu doit retomber sur "avril" au lieu de "-avril" ce qui colle mieux avec notre calendrier ^^)