DM 1ère S

[invite72f1e47c]

Bonjour!
J'ai un DM à faire mais le problème est que je suis bloqué. Pourriez-vous m'aider? S'il vous plaît!
Voilà le sujet:

1°) On va prouver le résultat suivant:
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.
Alors la fonction uv est dérivable sur l'intervalle I, et sa fonction dérivée est : u'v+uv' : (uv)'=u'v+uv'

a) On appelle u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. Soit a un réel de l'intervalle I.
On note f la fonction produit de u et v: f=(uv).
Montrer que, pour tout h≠0, on peut écrire:
(f(a+h)-f(a))/h = ((u(a+h)-u(a))/h) X v(a+h)+u(a) X ((v(a+h)-v(a))/h)

b) Déterminer, en justifiant, les limites suivantes:
lim(h→0) ((u(a+h)-u(a))/h) ; lim(h→0) v(a+h) ; lim(h→0) ((v(a+h)-v(a))/h).

c) En déduire que lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h = u'(a) X v(a)+ u(a) X v'(a).

d) Pourquoi peut-on alors conclure que (uv)'= u'v+uv' sur l'intervalle I?


2°) On va prouver le résultat suivant:
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x appartient à I on a v(x)≠0.
Alors la fonction 1/v est dérivable sur I, et sa dérivée est -v'/v²: (1/v)'=-v'/v²

a) On appelle v une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x appartient à I on a v(x)≠0.
Soit a un réel de l'intervalle I. On note f la fonction inverse de v: f=1/v.
Montrer que, pour tout h≠0, on peut écrire:
(f(a+h)-f(a))/h = ((v(a+h)-v(a))/h) X (-1)/(v(a+h) X v(a))

b) Déterminer, en justifiant, les limites suivantes:
lim(h→0) ((v(a+h)-v(a))/h) ; lim(h→0) (-1)/(v(a+h) X v(a))

c) En déduire que lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h = (-v'(a))/(v(a))²

d) Pourquoi peut-on alors conclure que (1/v)'=-v'/v² sur l'intervalle I?


3°) Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, telles que pour tout x appartient à I on a v(x)≠0.
En utilisant les deux formules que l'on vient de prouver: (uv)'=u'v+uv' et (1/v)=(-v')/v², et le fait que:
(u/v)= (u X (1/v), démontrer alors la formule suivante: (u/v)'= (u'v-uv')/v².



j'ai réussi à faire la question 1°) a) mais je n'arrive pas la 1°) b) pourriez-vous m'aider? S'il vous plaît!

Merci lili-rose-and-black
-----

[invitec9a9f4a6]

Bonjour,

Pour la question n°1)b) tes fonctions u et v sont dérivables sur I et a est un élément de I donc elles sont dérivables en a.
La premiere et la troisieme limite correspondent tout simplement à la définition de la dérivée de u (ou v) en a. La limite est donc (u'(a) (ou v'(a))
V est dérivable sur I donc continue sur I ce qui te donne la seconde limite.

Je te laisse chercher la suite, bon courage.

[invite72f1e47c]

Bonjour!
Merci beaucoup de m'avoir dépanné!

J'ai réussi à finir la question 1°)! Pourriez-vous m'aider pour la question 2°) a)? S'il vous plaît!

Merci! lili-rose-and-black.

[invitec9a9f4a6]

La question 2)a) est très facile tu as juste à remplacer f(a+h) et f(a) par 1/(v(a+h)) et 1/v(a) (en justifiant bien que v(a) + v(a+h) est non nul car pour tout x de I v(x) différent de 0, en toute rigueur il faudrait montrer que a+h appartient à I mais ici je ne vois pas comment faire, je pense que tu peux t'en passer)

Dans la b) tu ré-utilises la définition de la dérivée pour la premiere limite et la continuité pour la seconde, en rappelant une nouvelle fois que v(a) non nul (dès que tu as un quotient penses bien à justifier que le dénominateur est non nul).

Pour les autres questions je te laisse chercher un peu, si tu as besoin d'aide essayes de m'expliquer ton raisonnement et où ça bloque pour que je puisse te faire avancer. Les résultats que je te donne ne sont pas forcément juste, je suis ni prof de math ni un génie des sciences alors regardes y à deux fois

bonne chance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c8074bd]

puisque I est intervalle alors il est inclus dans R, pour tout élément x, y dans R, x+y est dans R car R (R,+) est un groupe (même corps).pour la question C), il suffit de faire le calcul en utilisant les résutats de 2)b
lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h=lim(h→0) ((v(a+h)-v(a))/h) X [(-1)/(v(a+h) X v(a))]=-v'(a)/v(a)² vu que a+h appartiennent a I et pour tout x appartient à I on a v(x)≠0, donc v(a+h) et v(a) sont ≠0.
indications pour d): pour toute a on a f(a+h)-f(a))/h=((v(a+h)-v(a))/h) X (-1)/(v(a+h) X v(a)) puisque pour tout a e I, v(a) et v(a+h) sont différents de 0. on aussi que lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h=lim(h→0) (1/v(a+h)-1/v(a))/h= lim(h→0) ((v(a+h)-v(a))/h) X [(-1)/(v(a+h) X v(a))]=-v'(a)/v(a)² donc 1/v est dérivale sur I et sa dérivée est -v'/v²
pour la question 3) tu peux utiliser les mêmes étapes que 1) et 2) sauf qu'il faut poser que g=u1*v1 avec u1=u et v1=1/v

[invite72f1e47c]

Merci beaucoup à vous!!! Ca m'a beaucoup aidé!
J'ai rendu mon DM vendredi matin!!! Et j'ai vérifié ce que vous m'avez dit, driki.mohamed, avec mes brouillons et j'ai la même chose
Encore MERCI d'avoir pris le temps de m'expliquer et de m'aider =D!!!

[invite6c8074bd]

il n'y a pas de quoi. bonne réussite

[invite72f1e47c]

Merci!!!