droites

[invite616a69c2]

bonjour

Me voici confronté à un problème de terminale et voila bien longtemps que je ni suis plus!!! Bien sur à résoudre donc à ce niveau sinon ce serait trop facile.
Je vous met l'énoncé:
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O,).
1) déterminer une équation du plan (P) passant par le point A(1;0;1) et de vecteur normal
2) Soit (P') le plan d'équation x+2y-z+1=0 et M le point de coordonnées (0;1;1).
a) Montrer que (P) et (P') sont perpendiculaires.
b) Calculer les distances d et d' du point M respectivement aux plans (P) et (P').
3)a) Donner une équation paramétrique de la droite (D), intersection des plans (P) et (P').
b) Déterminer les coordonnées du point H de (D) tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à (D).
c) Vérifier que MH²=d²+d'².

Voici mes réponses qui j'espère sont juste
1) -x+y+z=0
2)a) J'ai fait le produit scalaire des vecteurs normaux et je trouve bien 0 donc les plans sont perpendiculaires.
b) d=
d'=
3)a)L'intersection de (P) et (P') je resoud le systeme je trouve y=1/3 et x+1/3-z=0
De la j'ai pris 2 points C(-1/3;0;0) et D(0;0;1/3) donc un vecteur directeur est (1/3;0;1/3) et je trouve la représentation paramétrique
x=-1/3+1/3t
y=0
z=1/3t

Déja j'aimerais savoir si c'est juste!
Ensuite je reste bloquée à la question b)
J'ai un vecteur directeur de (D): (1/3;0;1/3)
H appartient à (D) alors les coordonnées de H sont (x;0;x+1/3)
M a pour coordonnées (0;1;1)
Un vecteur directeur de la droite (MH) est (x;-1;x-2/3)
pour que (D) et (MH) soient perpendiculaires je calcule le produit scalaire et il faut qu'il soit nul.
Je trouve x=1/3 Donc mon point H a pour coordonnées (1/3;0;2/3)

Et je sais que c'est faux car à la question c), d²+d'²=2 et si je calcule MH² je ne trouve pas 2

Merci pour vos aides et vos explications
Amanda
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[Jeanpaul]

1 et 2 OK mais dans 3a comment se fait-il que le y=1/3 (qui n'est pas juste) se transforme en y=0 (pas juste non plus) ?
Ensuite, il faut interpréter l'équation de la droite comme x=x0 + t.ux, y=y0 + t.uy, etc... et ça donne la direction de D par les composantes du vecteur u.

[ansset]

3)a)L'intersection de (P) et (P') je resoud le systeme je trouve y=1/3 et x+1/3-z=0
De la j'ai pris 2 points C(-1/3;0;0) et D(0;0;1/3) donc un vecteur directeur est (1/3;0;1/3) et je trouve la représentation paramétrique
x=-1/3+1/3t
y=0
z=1/3t

tout était bon jusque là.
car y =-1/3 et
z = x+ 1/3
alors ensuite ton calcul de H est faux !

je veux dire que le vecteur directeur est OK, mais pas la position de ta droite.
parole de gaucher

[invite616a69c2]

En fait il suffit que je remplace mon systeme (P) et (P')par
z=t
x=y+t
y+t+2y-t+1=0
alors je trouve
x=-1/3+t
y=-1/3
z=t
Je viens de m'en rendre compte (et surtout de m'en souvenir).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

Du coup un vecteur directeur de (D) est (1;0;1)

[invite616a69c2]

C'est bon j'ai mon point H(1/3;-1/3;2/3) et ça fonctionne.
Je crois que je cherchais trop compliqué!

Merci de vos aide