Suites numériques

invite616a69c2 · 25/03/2010, 11h22

Bonjour,

voici un sujet qui me tracasse, non pas par sa résolution mais par sa rédaction niveau terminale S
On considere une suite numérique $\text{[math]}$ positive et la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ . les propositions suivantes sont elles vraies? Justifier dans chaque cas.
1) La suite $\text{[math]}$ est bornée.
Vraie, j'ai $\text{[math]}$

2) Si la suite $\text{[math]}$ est croissante, alors la suite $\text{[math]}$ est croissante.
Vraie, j'ai calculé $\text{[math]}$ .
Je trouve aussi que si $\text{[math]}$ est decroissante, $\text{[math]}$ l'est aussi.

3) Si la suite $\text{[math]}$ est convergente, alors la suite $\text{[math]}$ est convergente.
Vraie mais comment justifier???? j'ai bien $\text{[math]}$ mais apres conclure de suite est du niveau supérieur et non terminale!! je me trompe?

4) Si la suite $\text{[math]}$ est convergente, alors la suite $\text{[math]}$ est convergente.
Même problème de justification.

Merci de votre aide.
Amanda

invitee4ef379f · 25/03/2010, 12h19

Bonjour,

Un simple théorème des gendarmes ne ferait pas l'affaire?

invite616a69c2 · 25/03/2010, 12h36

Pour le théorème des gendarmes, il faudrait que la suite $\text{[math]}$ ai pour limite 0, ce qui n'est pas spécifié

invitee4ef379f · 25/03/2010, 13h16

Bonjour,

En effet, il faudrait que $\text{[math]}$ tende vers $\text{[math]}$ .

Maintenant, si $\text{[math]}$ , il faut considérer $\text{[math]}$ et non plus $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Théorème des gendarmes: $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Quelque chose comme ca ne ferait pas l'affaire?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 13h18

Salut,

Envoyé par Amanda83

3) Si la suite $\text{[math]}$ est convergente, alors la suite $\text{[math]}$ est convergente.
Vraie mais comment justifier???? j'ai bien $\text{[math]}$ mais apres conclure de suite est du niveau supérieur et non terminale!! je me trompe?

Sers-toi simplement des opérations sur les limites.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 14h23

Ok donc je peux mettre:
$\text{[math]}$ est convergente donc elle a une limite finie l
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ a une limite finie, elle est convergente.

Ca fonctionne comme ça?

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 14h35

Envoyé par Amanda83

Ca fonctionne comme ça?

Presque. Pour pouvoir écrire

$\text{[math]}$

il faut que $\text{[math]}$ soit non nul. Il faut que tu expliques pourquoi c'est effectivement le cas.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 14h52

Oui c'est vrai, $\text{[math]}$ étant positive, il n'y a pas de problème.
Pour la 4 je procède pareil,
on pose $\text{[math]}$ l étant finie car $\text{[math]}$ est convergente.
La seule posibilite pour qu'une fraction ait une limite finie est que le numérateur ait une limite finie et que le dénominateur ait pour limite + ou - infini ou une limite finie. Donc $\text{[math]}$ a une limite finie, elle est convergente.

Merci pour l'aide que vous m'avez apporté.
Bonne fin de journée
Amanda

invitee4ef379f · 25/03/2010, 15h01

Rho oui pardon j'ai honte de ma bêtise.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 15h11

Pas grave

moi aussi je cherchais compliqué!

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 15h21

Envoyé par Amanda83

La seule posibilite pour qu'une fraction ait une limite finie est que le numérateur ait une limite finie et que le dénominateur ait pour limite + ou - infini ou une limite finie.

Non, on peut fabriquer une fraction qui converge avec un numérateur et un dénominateur qui divergent. Je te laisse chercher mais n'hésite pas à demander des indications si tu en as besoin.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 16h00

Je crois que j'ai trouvé, je pose l la limite de $\text{[math]}$ sachant qui l est finie.
je transforme dès le debut, $\text{[math]}$ et je passe à la limite, vu que $\text{[math]}$ a une limite finie, il en est de meme pour $\text{[math]}$ .
C'est mieux et plus logique

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 16h07

Envoyé par Amanda83

Je crois que j'ai trouvé, je pose l la limite de $\text{[math]}$ sachant qui l est finie.
je transforme dès le debut, $\text{[math]}$ et je passe à la limite, vu que $\text{[math]}$ a une limite finie, il en est de meme pour $\text{[math]}$ .

Encore une fois, attention au dénominateur : si $\text{[math]}$ tend vers 0, la limite de $\text{[math]}$ est-elle toujours finie ?

invite616a69c2 · 25/03/2010, 16h18

J'étais en train d'y réfléchir et je seche.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 16h24

Alors $\text{[math]}$ est positive et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Du coup $\text{[math]}$
Et ça fonctionne

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 16h33

Envoyé par Amanda83

Alors $\text{[math]}$ est positive et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Du coup $\text{[math]}$
Et ça fonctionne

Non, une suite peut être strictement positive et tendre vers 0 (c'est le cas de la suite des $\text{[math]}$ ).

Si tu n'arrives pas à montrer que l'affirmation est vraie c'est peut-être parce qu'elle est fausse.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 16h44

je suis en train de m'embrouiller!!!
Sur un exercice de TS en plus :'(

invite616a69c2 · 25/03/2010, 16h52

Un contre exemple suffit pour justifier???

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
La j'ai pas dis de betises!

**Flyingsquirrel** · 25/03/2010, 16h56

Envoyé par Amanda83

Un contre exemple suffit pour justifier???

Pour prouver qu'une affirmation est fausse il suffit d'exhiber un contre-exemple, oui.

Envoyé par Amanda83

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
La j'ai pas dis de betises!

Effectivement, c'est juste.

invite616a69c2 · 25/03/2010, 17h15

Tout ça pour ça!!! je me suis vraiment embrouillée le cerveau aujourd'hui.

Merci pour l'aide Bonne soiree
Amanda

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