Suites numériques

invitec1b6da07 · 04/04/2009, 17h00

Bonjour!Je vous expose d'abord l'exercice:

Soit (U_n) la suite définie sur N (entiers naturels) telle que:
U₀=0
U_n+1=(3U_n+ 4)^1/2

Bref, les deux premières questions me demandent de montrer que cette suite est majorée par 4 et strictement croissante, ce que j'ai réussi facilement par récurrence.

Ensuite, on me demande d'en déduire qu'elle converge (ça c'est évident) et de déterminer sa limite.
Dites moi s'il y a une autre méthode, mais j'ai encore procédé par récurrence, en commençant au rang n=6, par exemple, pour lequel U_n vaut environ 3,96... et j'en ai déduit qu'elle convergeait vers 4.

Puis je n'arrive pas la question suivante:

Montrer, pour tout n de N, que:
[4 - U_n+1] est inférieur ou égal à [1/2 (4 - U_n)]

Enfin, on introduit la suite V_n= n²(4 - U_n) et on me demande d'étudier la convergence de cette suite, ce que je n'arrive pas...

Merci d'avance à ceux qui m'aideraient!

**bubulle_01** · 04/04/2009, 17h22

Bonjour,

Pour la limite, tu ne peux pas "conjecturer" que c'est 4, il faut le prouver.
Toutes les valeurs de Un étant prises dans [0;4] et Un+1=f(Un) avec f continue sur [0;4] avec f: x->(3x+4)^(1/2), tu en déduis que la limite l vérifie f(l)=l.

Après, pour la question suivante, sachant que Un est dans [0;4] étudie le signe de la différence peut-être. Sinon tu peux toujours faire une étude de fonction.

Pour ce qui est de la dernière question, tu as montré que [4 - Un+1]<=[1/2 (4 - Un)].
Que peux-tu alors dire sur la suite wn=4-un ?
Une fois que tu auras résolu cette question, la suite est évidente

invitec1b6da07 · 04/04/2009, 21h50

Pourquoi ne pourrais-je pas conjecturer que la limite vaut 4? Dites-moi où mon raisonnement est faux:

Je calcule U₀=0, U₁=2, U₂=3,16, U₃=3,67, U₄=3,88, U₅=3,95, U₅=3,98, U₆=3,99, etc

Soit Pn la proposition "U_n tend vers 4 lorsque n tend vers l'infini".

Au rang, n=6, Un=3,99 (soit environ 4) donc c'est vrai au rang initial n=6.
Supposons Pn vraie pour tout n de N et montrons Pn+1.

Lim U_n+1= Lim (3U_n+ 4)^1/2 = (3 * 4 + 4)^1/2 = 4

D'où Pn vraie et on a donc notre réponse! Où mon raisonnement est-il faux?

Toutes les valeurs de Un étant prises dans [0;4] et Un+1=f(Un) avec f continue sur [0;4] avec f: x->(3x+4)^(1/2), tu en déduis que la limite l vérifie f(l)=l.

Je suppose que tu voulais dire "...que la limite vérifie f(4)=l"?
Mais tu conjectures aussi là, non? Okay, toutes les valeurs de U_n sont prises dans [0;4] car majorée par 4, mais on ne sait à priori pas si U_n atteint 4 (donc si on peut remplacer x par 4 pour trouver la limite), peut-être que U_n ne peut prendre que des valeurs allant de 0 à 3,5 et après tout la limite pourrait vérifier f(3,5)=l, non?

Sinon,on a donc (4 - U_n+1) / (4 - U_n) <= 1/2
Donc la suite W_n= 4 - U_n est décroissante.

Je peux également dire que W_n a pour limite 0.

V_n= n²(4 - U_n) donc pour le calcul de la limite, on a une forme indéterminée en (+ l'infini) , puisqu'on a "0 * (+ l"infini)"!

Comment la lever?

**bubulle_01** · 04/04/2009, 23h30

Alors, on va reprendre pas à pas.
Il semblerait que tu comprennes bien la manipulation de certaines choses, mais il reste certains sujets que tu n'as pas totalement saisis :
Tu ne peux pas donner de condition sur n dans ta proposition P(n), sinon cela ne veut strictement rien dire !! (Ne t'inquiètes pas ce genre de "bêtises" est assez récurrent même au niveau supérieur) :
Tu as dit : Soit P(n):"Un tend vers 4 lorsque n tend vers l'infini".
Dans ces cas là, la proposition P(3) par exemple serait "U3 tend vers 4 quand 3 tend vers l'infini" ... ce qui ne veut strictement rien dire.
Tu ne peux pas dire "U6 semble être très proche de 4, et U7 manifestement encore plus, donc par récurrence, Un tend vers 4 en l'infini" car ces données ne permettent pas de conclure. Je te donnerais l'exemple d'une formule découverte par les frères Borwein il me semble : une suite qui sur plus de 10 milliards de décimales correspond avec pi mais qui après un certain rang est bien différent. On ne peut donc pas dire que cette suite tend vers pi, bien que sa valeur soit extrèmement proche ! Il faut justifier toute conclusion de limite, et en aucun cas utiliser un critère subjectif (quelque soit la branche des mathématiques d'ailleurs). En effet, dans ces cas là, pourquoi prendre U6 comme premier terme de la récurrence ? Car 4-U6<0.01 ? Mais pourquoi utiliser la valeur 0.01 et non 0.001 par exemple ?

Ensuite, je voulais bien dire f(l)=l.
Sans te donner la réelle preuve, je vais t'expliquer comment "trouver cela logique" :
Si un tend vers une limite finie l, tu es bien d'accord que u(n+1) tend vers l aussi lorsque n tend vers l'infini.
Or u(n+1)=f(un). Par conséquent, par continuité de f sur l'intervalle étudié et en passant à la limite : l=f(l).

Je reviens aussi sur quelque chose que tu n'as pas compris :
Toutes les valeurs de Un sont dans [0;4] signifie que pour tout n dans N, 0<=Un<=4, et non que toutes les valeurs de l'intervalle [0;4] sont atteintes !! J'aurais très bien pu utiliser l'intervalle [-1;5], cela reste correct !

Ensuite, en supposant que tu as montré (4-Un+1)<= 1/2(4-Un) soit Wn+1<=1/2Wn, que peux tu dire de la suite Tn+1=1/2 Tn avec T0=W0 par rapport à Wn ?

Pour la question finale, en effet c'est une forme indéterminée, mais je ne pourrais t'aider que lorsque tu auras réussi la question précédente

(la déduction est assez rapide.)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 09h57

Okay, merci, j'ai bien compris ms erreurs eton raisonnement pour la limite:

On a effectivement la limite L qui vérifie f(L)=L

soit (3 * L + 4)^(1/2) = L d'où, après résolution, L=4.

J'avais pigé pour l'intervalle [0;4], je pensais en fait que c'est toi qui faisais une confusion (car je n'avais pas compris tout ton raisonnement^^)

Très bien, maintenant, en posant T_n+1= 1/2T_n, avec T₀=W₀, qu'est ce que j'en déduis? Hé bien, ce sont toutes les deux des suites décroissantes, mais Tn>=Wn!

Ah, je pense avoir trouvé!
On a Vn= n²Wn
Soit, Vn/Wn=n² <= Vn/Tn

J'ai donc :

Lim (Vn/Wn)= + l'infini <= Lim (Vn/Tn).... euhhhh?

C'est cohérent ce que je viens d'écrire?

Non, je ne vois pasen fait...

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 10h17

Attends...!

Vn+1/Vn = (n+1)²W_n+1/n²W_n <= (1/2)(n+1)²/n² = (1/2) (n² + 2n + 1) /n² = (1/2) (1+ 2/n + 1/n²), ce qui tend vers (1/2) lorsque n tend vers (+l'infini).

Donc Vn+1/Vn tend vers <=1/2 en (+ l'infini), donc Vn tend vers 0

Ais-je correct?

**bubulle_01** · 05/04/2009, 16h26

Envoyé par potfok

Attends...!

Vn+1/Vn = (n+1)²W_n+1/n²W_n <= (1/2)(n+1)²/n² = (1/2) (n² + 2n + 1) /n² = (1/2) (1+ 2/n + 1/n²), ce qui tend vers (1/2) lorsque n tend vers (+l'infini).

Donc Vn+1/Vn tend vers <=1/2 en (+ l'infini), donc Vn tend vers 0

Ais-je correct?

Oui, c'est correct, encore faut-il que tu justifies ta dernière conclusion !!
Le plus simple ici est d'exprimer Tn en fonction de n.
Tu as bien vu que 0<=Wn<=Tn et donc que 0<=n²Wn<=n²Tn soit 0<=Vn<=n²Tn
Comme tu connais Tn en fonction de n, tu vas pouvoir en déduire la limite de n²Tn et par encadrement la limite de Vn

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 17h26

Je ne comprends pas tout!

On a donc effectivement 0 <= Vn <= n²Tn

Mais je ne connais pas Tn en fonction de n, puisque tout est définie par récurrence depuis le début

!

J'ai bien Tn = 2 Tn+1 = 2 (4 - Un+1) = 2 ( 4 - (3Un + 4)^1/2)

J'exprime Tn en fonction de Un.
Tn tend vers 0 en + l'infini, n² tend vers + l'infini en + l'infini, j'ai donc tjrs ma forme indéterminée!

Par contre, deuxième point incompris, j'avais montré que Vn+1/Vn tendait vers un réel <= 1/2 (cf ton quote précédent). Cela prouve donc bien que la suite Vn tend vers 0 non? Puisque chaque valeur Vn+1, pour n tendant vers + l'infini, sera plus petite que Vn/2, donc Vn tend vers 0 !

**bubulle_01** · 05/04/2009, 17h43

Envoyé par potfok

Par contre, deuxième point incompris, j'avais montré que Vn+1/Vn tendait vers un réel <= 1/2 (cf ton quote précédent). Cela prouve donc bien que la suite Vn tend vers 0 non? Puisque chaque valeur Vn+1, pour n tendant vers + l'infini, sera plus petite que Vn/2, donc Vn tend vers 0 !

Oui on est totalement d'accord, encore faut-il que tu prouves cette implication !

Tu peux trouver Tn en fonction de n en sachant que T0=W0=4-U0=3 et que (Tn) est une suite géométrique de raison 1/2.

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 21h03

Rahhh, je suis con, bien sûr qu'on a Tn en fonction de n, quel idiot =)

Donc, on a Tn = T₀qⁿ = 3 * (1/2)ⁿ

Mais on a toujours un problème:

Lim n²Tn = + l'infini * 0

car Tn suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1, dc convergeant vers 0.

On a donc toujours une forme indéterminée, non?

Meric =)

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 21h05

Envoyé par bubulle_01

Oui on est totalement d'accord, encore faut-il que tu prouves cette implication !

Mais je le prouve dans le message que tu quotes à 18h43 ! ! ! Non?

**bubulle_01** · 05/04/2009, 22h21

Envoyé par potfok

Rahhh, je suis con, bien sûr qu'on a Tn en fonction de n, quel idiot =)

Donc, on a Tn = T₀qⁿ = 3 * (1/2)ⁿ

Mais on a toujours un problème:

Lim n²Tn = + l'infini * 0

car Tn suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1, dc convergeant vers 0.

On a donc toujours une forme indéterminée, non?

Meric =)

Eh bien tu peux calculer la limite de n²*(1/2)^n !
Tu sais que l'exponentielle l'emporte sur tout polynome, et on a (1/2)^n=e^(-n ln2).

Après pour ce qui est de ton message suivant, non tu ne l'as pas prouver. D'accord intuitivement c'est limpide, mais quel propriété ou théorème t'as permis de conclure ? En maths, même la plus simple des implications doit être prouvée à l'aide de ce qu'on sait déjà. Or la tu ne le montres qu'avec ton intuition

Si on devait le prouver il faudrait procéder d'une certaine manière, méthode que l'on ne voit que dans le sup, utilisant la définition de la convergence ...

invitec1b6da07 · 05/04/2009, 23h18

(1/2)^n=e^(-n ln2) mais n²= e^(2ln n)

mais "n" l'emporte sur le logarithme, d'où la solution également!

Okay, okay, j'ai tout pigé, je ne peux que te remercier

Et au passage par curiosité, je veux bien l'énoncé de ton théorème de sup si ce n'est trop te demander!

Encore merci!

**bubulle_01** · 06/04/2009, 23h37

Ce n'est pas un "théorème" dans le sens où ce n'est pas un résultat fondamental, juste une propriété à démontrer qui se trouve dans mes fiches d'exercices :

Soit $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ à partir d'un certain rang et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ converge vers 0.

Il manque peut-être une condition, je vérifierais cela, mais à priori cela me semble correct.

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