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[TS] Logarithme



  1. #1
    leodark

    [TS] Logarithme


    ------

    Bonjour,
    Je ne comprend pas la correction disponible sur internet d'un exercice d'annale.

    On sait que lim lnx/x = 0
    x->+inf

    La question est soit n entier supérieur a 0, déterminer si elle existe la limite de : fn(x) = ln(x)/(x^(1/n))

    La correction http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Cor...udnov-2008.pdf (Exercice 4) conclu par lim fn(x)< lim f(x) donc lim fn(x)=0.

    Je ne comprend pas trop pourquoi, personnellement j'aurais envi de dire "tout dépend de n", si n tend vers +inf la fonction tend vers +inf et si n=1 alors elle tend vers 0.

    Donc voila, la correction a t elle un problème ou je comprend mal quelque chose?
    Merci!

    -----

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  3. #2
    g_h

    Re : [TS] Logarithme

    Hello,

    Il y a un gros souci dans leur correction.

    Ils écrivent :
    1/n > 0 => 1/n >= 1, ce qui est complètement faux ... c'est faux pour tout n >= 2, et le raisonnement qui suit est faux aussi (les inégalités suivantes sont fausses du coup...)

  4. #3
    danyvio

    Re : [TS] Logarithme

    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    Hello,

    1/n > 0 => 1/n >= 1, ce qui est complètement faux ... c'est faux pour tout n >= 2,
    Et même pour tout n > 1
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. #4
    leodark

    Re : [TS] Logarithme

    n étant un entier, cela revient exactement au même

    Et merci il y a donc bien une erreur dans la correction.

  6. #5
    hhh86

    Re : [TS] Logarithme

    Leur démonstration est complétement fausse. Si on rectifie leur correction on tombe sur un encadrement entre 1/x et 1 pour x>1 donc on ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes.

    Une solution :

    lim(x-->+inf)(x1/n)=lim(x-->+inf)(e(1/n)ln(x))
    Or lim(x-->+inf)((1/n)ln(x))=+inf et lim(x-->+inf)(ex)=+inf donc d'après le théorème de la limite d'une fonction composée lim(x-->+inf)(x1/n)=+inf

    Comme lim(x-->+inf)(ln(xn)/x)=lim(x-->+inf)(nln(x)/x)=0, alors d'après le théorème de la limite d'une fonction composée :
    lim(x-->+inf)(ln(x)/x1/n)=0
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    leodark

    Re : [TS] Logarithme

    Merci, mais enfait je ne dois pas trop comprendre ce n, peut il tendre vers +inf? Car ok ce n'est pas vraiment une variable mais ne faut il pas prendre en compte toutes les valeurs possible de n avant de conclure?

    Car si n--> +inf
    lim(x-->+inf)((1/n)ln(x))= 0 et non +inf

    Enfin en classe de term on a rarement des exos comme ca, donc je comprend peut être juste mal le "Soit n un entier naturel non nul".

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  10. #7
    hhh86

    Re : [TS] Logarithme

    dans ce cas là tu ne calcules pas la limite quand x tend vers +inf mais la limite quand n tend vers +inf, il y a une nuance
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  11. #8
    leodark

    Re : [TS] Logarithme

    Oui, oui nan je comprend. Je pense que dans ma tête je considérais +inf presque comme un nombre ce qui n'est pas le cas.
    Merci beaucoup, je crois que j'en ai finis avec cet exercice =)

  12. #9
    hhh86

    Re : [TS] Logarithme

    oui ça doit être ça je pense
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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