[TS] Logarithme

[leodark]

Bonjour,
Je ne comprend pas la correction disponible sur internet d'un exercice d'annale.

On sait que lim lnx/x = 0
x->+inf

La question est soit n entier supérieur a 0, déterminer si elle existe la limite de : fn(x) = ln(x)/(x^(1/n))

La correction http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Cor...udnov-2008.pdf (Exercice 4) conclu par lim fn(x)< lim f(x) donc lim fn(x)=0.

Je ne comprend pas trop pourquoi, personnellement j'aurais envi de dire "tout dépend de n", si n tend vers +inf la fonction tend vers +inf et si n=1 alors elle tend vers 0.

Donc voila, la correction a t elle un problème ou je comprend mal quelque chose?
Merci!
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[g_h]

Hello,

Il y a un gros souci dans leur correction.

Ils écrivent :
1/n > 0 => 1/n >= 1, ce qui est complètement faux ... c'est faux pour tout n >= 2, et le raisonnement qui suit est faux aussi (les inégalités suivantes sont fausses du coup...)

[danyvio]

Hello,

1/n > 0 => 1/n >= 1, ce qui est complètement faux ... c'est faux pour tout n >= 2,

Et même pour tout n > 1

[leodark]

n étant un entier, cela revient exactement au même

Et merci il y a donc bien une erreur dans la correction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Leur démonstration est complétement fausse. Si on rectifie leur correction on tombe sur un encadrement entre 1/x et 1 pour x>1 donc on ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes.

Une solution :

lim(x-->+inf)(x^1/n)=lim(x-->+inf)(e^(1/n)ln(x))
Or lim(x-->+inf)((1/n)ln(x))=+inf et lim(x-->+inf)(e^x)=+inf donc d'après le théorème de la limite d'une fonction composée lim(x-->+inf)(x^1/n)=+inf

Comme lim(x-->+inf)(ln(xⁿ)/x)=lim(x-->+inf)(nln(x)/x)=0, alors d'après le théorème de la limite d'une fonction composée :
lim(x-->+inf)(ln(x)/x^1/n)=0

[leodark]

Merci, mais enfait je ne dois pas trop comprendre ce n, peut il tendre vers +inf? Car ok ce n'est pas vraiment une variable mais ne faut il pas prendre en compte toutes les valeurs possible de n avant de conclure?

Car si n--> +inf
lim(x-->+inf)((1/n)ln(x))= 0 et non +inf

Enfin en classe de term on a rarement des exos comme ca, donc je comprend peut être juste mal le "Soit n un entier naturel non nul".

[hhh86]

dans ce cas là tu ne calcules pas la limite quand x tend vers +inf mais la limite quand n tend vers +inf, il y a une nuance

[leodark]

Oui, oui nan je comprend. Je pense que dans ma tête je considérais +inf presque comme un nombre ce qui n'est pas le cas.
Merci beaucoup, je crois que j'en ai finis avec cet exercice =)

[hhh86]

oui ça doit être ça je pense