Intégrale de 1/[x(x+1)²] ?

[inviteb90b824a]

Bonsoir,

Je dois trouver l'intégrale de 1 à 2 de la fonction 1/[x(x+1)²]. Je n'y arrive pas. Mon livre me propose une aide :

1/[x(x+1)²] = a/x + b/(x+1) + c/(x+1)².

J'ai compris qu'il fallait identifier les réels a, b et c qui rendent l'égalité ci-dessus vraie, voici donc ce que j'ai écrit :

a/x + b/(x+1) + c/(x+1)² = [a(x+1)² + bx(x+1) + cx]/[x(x+1)²] = 1/x(x+1)²

Ensuite, je bloque. Le numérateur dépend de x, alors que nous sommes censés trouver 1 ! Pour moi, donc, a, b et c valent 0.

Sauf que c'est impossible. J'en fais donc appel à vous, en espérant que vous ayez une petite idée sur la question ! Pour ce qui est de l'intégrale, si j'arrive à trouver a, b et c, cela ne devrait pas trop poser de problème.. enfin j'espère.

Merci d'avance !
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[invitea29b3af3]

Salut

a=b=c=0 est effectivement une solution, mais ce n'est pas la seule!

Développe ton numérateur, ça te fera un polynôme du 2e degré en x. Les termes multipliant x² et x devront donc valoir 0 et le terme constant devra valoir 1. Ca te fera donc 3 équations à 3 inconnues: a,b et c

[invite1d6867c1]

Développe, tu verras que a= 1 (je te laisse trouver le reste

[Flyingsquirrel]

a=b=c=0 est effectivement une solution, mais ce n'est pas la seule!

Si c'est une solution pourquoi tu t'embêtes à en trouver une autre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Ah oui, c'est vrai j'aurais dû développer !

Donc on a :
[ax² + 2ax + a + bx² + bx + cx]/[x(x+1)²] = 1/x(x+1)²
Puis en factorisant : [x²(a+b) +x(2a+b+c) +a]/[x(x+1)²] = 1/x(x+1)²

Du coup oui je trouve bien a = 1. En résolvant le système { a+b = 0 ; 2a+b+c = 0 ; a = 1 } je trouve a = 1, b = -1 et c = -1. Est-ce juste ?

[Flyingsquirrel]

Oui, c'est juste.

[inviteb90b824a]

Très bien, entre temps j'ai pu déterminer l'intégrale, qui vaut ln(4/3) - 1/6, et ma calculatrice est d'accord avec moi pour une fois

Merci à tous !