Taux de variation d'une fonction en un point

[Joe l indien]

Et hoplà, je remets déjà le couvert
Encore un obstacle stupide qui me bloque.

J'ai plus ou moins compris toute la démarche à suivre pour calculer le taux de variation en un point mais je cale sur un détail car 1) je n'ai pas un bon niveau en maths et 2) mon cours est décidément de plus en plus lacunaire dans l'aspect didactique !!

Soit la fonction dont il faut calculer le taux de variation au point d'abscisse 4. Dans les différentes étapes de résolution, je cale au moment où il faut remplacer "x" par une valeur se rapprochant de 4.

La formule du cours indique qu'il faut faire : Or je ne vois pas du tout à quoi correspond f(1) dans cette formule . Par quelle valeur remplacer f(1) ?

Ainsi, pour la valeur "x" je conçois qu'il faut la remplacer dans la formule par 3,9 puis 3,99, etc... mais le f(1) ??? Ainsi par exemple, dans le cours la réponse pour 3,9 en "x" est -0,251582 pour . J'ai essayé de remplacer f(1) par 4 dans la formule mais ça ne marche pas...

En fait, je crois que je n'ai rien compris à ce que je fais...
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[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je voudrais déjà faire une remarque de vocabulaire: visiblement ton cours emploie le terme "taux de variation". On lui substitue souvent, voire on lui préfère, le terme "taux d'accroissement"; ne sois donc pas surpris si tu viens à le rencontrer dans la littérature.


En ce qui concerne ta question, il me semble qu'il manque quelque chose dans l'énoncé que tu nous donnes.

Un taux d'accroissement/de variation ne se calcule pas en un point, mais entre deux points. Autrement, on parle de limite du taux d'accroissement en un point, i.e de dérivée en un point.


Visiblement, tu cherches à faire tendre la valeur de x vers 4, ce qui a un sens uniquement si tu calcules le taux d'accroissement entre 4 et x, car tu te rapproches alors de la valeur de la dérivée de f(x) en 4.

Faire tendre la valeur de x vers 4 et chercher le taux d'accroissement entre 1 et x n'a aucun sens à mes yeux. Est tu sûr que l'énoncé ne stipule pas autre chose? Si non, alors la correction qui t'est donnée est peut être fausse (à moins que je n'oublie quelque chose), et il faut lire au lieu de .

Bon courage!

[Joe l indien]

Bonjour,

Je voudrais déjà faire une remarque de vocabulaire: visiblement ton cours emploie le terme "taux de variation". On lui substitue souvent, voire on lui préfère, le terme "taux d'accroissement"; ne sois donc pas surpris si tu viens à le rencontrer dans la littérature.


En ce qui concerne ta question, il me semble qu'il manque quelque chose dans l'énoncé que tu nous donnes.

Un taux d'accroissement/de variation ne se calcule pas en un point, mais entre deux points. Autrement, on parle de limite du taux d'accroissement en un point, i.e de dérivée en un point.


Visiblement, tu cherches à faire tendre la valeur de x vers 4, ce qui a un sens uniquement si tu calcules le taux d'accroissement entre 4 et x, car tu te rapproches alors de la valeur de la dérivée de f(x) en 4.

Faire tendre la valeur de x vers 4 et chercher le taux d'accroissement entre 1 et x n'a aucun sens à mes yeux. Est tu sûr que l'énoncé ne stipule pas autre chose? Si non, alors la correction qui t'est donnée est peut être fausse (à moins que je n'oublie quelque chose), et il faut lire au lieu de .

Bon courage!

Bonjour,

Il s'agit bien du taux d'accroissement, le cours utilise invariablement les deux expressions. Et il s'agit effectivement bien de calculer la limite du taux (la faute peut-être à ma sémantique!).

J'ai également songé à une erreur du cours (ce ne serait pas la première) mais comme je ne suis pas une référence en maths je préfère inclure l'exercice ci-dessous pour en être certain.

[Plume d'Oeuf]

C'est bien une erreur du cours. Si tu regardes la phrase en dessous de ton tableau, tu te rends compte qu'il fallait bien lire .

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Joe l indien]

merci pour la confirmation.

si jamais ils me donnent l'occasion d'évaluer la qualité du cours à la fin du parcours, ils vont m'entendre !

[Joe l indien]

Il y a un autre détail qui me chatouille.

Pour le graphique du taux d'accroissement de sur [x 4] il est marqué ensuite dans l'énoncé (x<4).

En fait, jusqu'à présent tous les exercices que j'avais fait étaient du genre "x>a" or là, pour la première fois, c'est le contraire. Je me demande (puisque je n'ai d'explications nullepart) comment on sait si c'est x>... ou x<...

Pour ajouter à ma confusion, j'avais pour habitude d'assumer (basé sur l'observation d'exercices précédents) que les fonction du genre donnaient dans un graphique une courbe située au-dessus (et à droite) des axes orthonormés. De même, j'avais observé que une fonction de type donnait une courbe dont les coordonnées étaient de valeur négative (cf. précisément le graphique de la photo ci-dessus).

Or je constate dans l'exemple sur [x 4] que le graphique donne comme résultat une courbe "en dessous" (désolé pour le vocabulaire profane).

[Joe l indien]

D'ailleurs, pour justifier mon raisonnement ci-dessus en chiffres, si j'applique la méthode apprise à la fonction sur [x 4] les coordonnées sur le graphique ne devraient-elles pas donner 2 et 4 ? ==> car ???

or, sur la photo ci-dessus, le graphique donne -2 et 4
cf. la courbe "inversée" sur le graphique que je ne comprends pas.

[Joe l indien]

Ne prêtez pas attention aux posts précédents, je suis quasi certain que l'exercice du cours (qui est censé me servir de support pour comprendre) que j'ai mis en exemple plus haut est complètement faux dès le départ ce qui m'a causé pas mal de confusion.

J'ai cependant une (nouvelle) question (!) : dans l'exercice avec comme point d'abscisse 2, j'ai calculé le coefficient angulaire de la tangente qui correspond à 4 (les limites).

On me demande de représenter la tangente graphiquement. J'ai déjà réalisé le graphique du coefficient angulaire de la sécante AX. Il me reste donc à tracer la tangente qui passera d'office par le point A... mais quel est l'autre point de repère en fonction duquel tracer cette tangente ? (d'ailleurs faut-il un autre point, hormis A, pour déterminer la tangente ?)

[Plume d'Oeuf]

Alors reprenons dans l'ordre.

Tu fais bien de te gratter là où ça te chatouille!

En effet dans les exercices usuels, on demande souvent de chercher le taux d'accroissement entre deux points et tels que .

Grâce à la formule que tu connais, cela donne bien:



Cependant, si l'on pousse un peu plus loin, on a le droit de multiplier cette dernière fraction par (-1) au numérateur ET au dénominateur sans que cela ne change la valeur de \Tau:



Ce dernier quotient représentant le taux d'accroissement entre et ! Et que l'on dise entre et ou entre et , cela ne change pas grand chose

Maintenant pour ta fonction, au vu de la suite de l'énoncé, je pense qu'il y a une seconde erreur: il fallait lire et non pas .

En soit la courbe représentative d'une fonction quelconque n'a aucune raison d'être cantonnée dans le coin supérieur droit du plan, puisque cette région ne représente que les valeurs positives de et de . Or nous savons que beaucoup de fonctions sont aussi définies pour des valeurs négatives de , et/ou donnent des valeurs négatives pour . On peut donc avoir des points partout par rapport au repère donné. Celui ci ne se limite d'ailleurs pas à deux demi droites orientées ayant même origine, mais se représente de manière plus formelle par deux droites orientées, qu'il est commun (mais pas obligatoire) de faire se couper en l'origine.

Bon courage!

[Plume d'Oeuf]

Pour ta dernière question, j'ai à nouveau deux remarques.

1) Là où ton cours parle de "coefficient angulaire" d'une droite, il est plus commun d'employer le terme "coefficient directeur". A nouveau ne soit pas surpris si tu croise ce dernier terme ailleurs.

2) Pour tracer une droite, tu as besoin soit de deux points appartenant à cette droite, soit d'un point appartenant à la droite et du coefficient directeur de la droite.

Je ne t'embêterai pas à t'expliquer comment tracer une droite quand on connaît les coordonnées de deux de ses points.

Maintenant si tu ne connais que les coordonnées d'un de ses point, mettons , ainsi que son coefficient directeur, comment faire?
Supposons qu'un autre point appartienne à cette droite. Tu ne connais donc ni x_N ni y_N. Il se trouve que l'équation de cette droite est une fonction affine, du type où et sont des réels. Ce que tu connais, c'est le coefficient directeur de la droite, soit dans l'équation , restant une inconnue.

Comme et appartiennent à cette droite, on a:



En soustrayant ces deux équations, on obtient donc:
où est le coefficient directeur, connu.

Soit:


On remarque qu'on aurait pu faire la soustraction dans l'autre sens et on aurait obtenu:


Ces deux quotients sont strictement égaux car il suffit de multiplier l'un par (-1) au dénominateur et au numérateur pour retrouver l'autre.

Il en ressort donc que est le rapport de l'écart entre la différence des ordonnées des deux points et celle de leurs abscisses.
Pour trouver un second point de la droite, il suffit donc de partir du point connu (ici ), de se décaler d'une certaine quantité arbitraire en horizontal, puis de en vertical!
Attention, si tu te décales vers la droite en horizontal, devra être compté positif, tandis que si tu te décales vers la gauche, il devra être compté négatif!!

Bon courage!

[Joe l indien]

Pour ta dernière question, j'ai à nouveau deux remarques.

1) Là où ton cours parle de "coefficient angulaire" d'une droite, il est plus commun d'employer le terme "coefficient directeur". A nouveau ne soit pas surpris si tu croise ce dernier terme ailleurs.

2) Pour tracer une droite, tu as besoin soit de deux points appartenant à cette droite, soit d'un point appartenant à la droite et du coefficient directeur de la droite.

Je ne t'embêterai pas à t'expliquer comment tracer une droite quand on connaît les coordonnées de deux de ses points.

Maintenant si tu ne connais que les coordonnées d'un de ses point, mettons , ainsi que son coefficient directeur, comment faire?
Supposons qu'un autre point appartienne à cette droite. Tu ne connais donc ni x_N ni y_N. Il se trouve que l'équation de cette droite est une fonction affine, du type où et sont des réels. Ce que tu connais, c'est le coefficient directeur de la droite, soit dans l'équation , restant une inconnue.

Comme et appartiennent à cette droite, on a:



En soustrayant ces deux équations, on obtient donc:
où est le coefficient directeur, connu.

Soit:


On remarque qu'on aurait pu faire la soustraction dans l'autre sens et on aurait obtenu:


Ces deux quotients sont strictement égaux car il suffit de multiplier l'un par (-1) au dénominateur et au numérateur pour retrouver l'autre.

Il en ressort donc que est le rapport de l'écart entre la différence des ordonnées des deux points et celle de leurs abscisses.
Pour trouver un second point de la droite, il suffit donc de partir du point connu (ici ), de se décaler d'une certaine quantité arbitraire en horizontal, puis de en vertical!
Attention, si tu te décales vers la droite en horizontal, devra être compté positif, tandis que si tu te décales vers la gauche, il devra être compté négatif!!

Bon courage!

Bonsoir,

Merci à toi, je crois comprendre ce que tu dis (à moins que...)
Cependant, étant donné que je suis relativement peu flexible (ce n'est pas volontaire) lorsque l'on en vient à des explications techniques, j'aimerais à nouveau illustrer ma demande à l'aide de mon cours.

En me basant donc sur l'illustration du cours, je me permets de reformuler ma question (bien que je conçoive que tu avais peut-être déjà compris la première fois mais que c'est moi qui ne comprends pas ta réponse!)

Dans mon langage basique (et dans les termes du cours), je sais que lorsque l'on trace la tangente elle passe de facto par le point A (voir photo) mais je me demande si il ne faut pas déterminer un autre point pour tracer cette tangente. Dans mon exemple illustré, j'ai l'impression - mais c'est peut-être le fait du hasard - que la tangente passe par le point A (1,1) mais aussi par (0, -1) ==> comment ce (0, -1) a-t-il été déterminé pour le traçage de la tangente ?

[Plume d'Oeuf]

Pour tracer une droite, il te faut bien deux points.

Comme tu connais un point (A) de ta tangente, et le coefficient directeur de cette dernière, il te faut donc déterminer un autre point pour tracer ta droite.

Dans mon précédent post, j'ai essayé d'expliquer, avec démonstration, comment on pouvait trouver un second point.

Je joins un schéma illustrant ce que j'ai écrit précédemment, en espérant que cela aide.

Bon courage!

[Joe l indien]

Pour trouver un second point de la droite, il suffit donc de partir du point connu (ici ), de se décaler d'une certaine quantité arbitraire en horizontal, puis de en vertical!
Attention, si tu te décales vers la droite en horizontal, devra être compté positif, tandis que si tu te décales vers la gauche, il devra être compté négatif!!

Bon courage!

Ha! c'est donc ça la formule magique qui me manquait
J'ai vérifié et effectivement ça "marche" pour ainsi dire.

(Encore) un grand merci, Plume d'œuf, sache que je ne prends pas ton aide pour argent comptant! et te suis très reconnaissant (et les autres aussi d'ailleurs).

Je vais arrêter ici pour ce soir bien que j'aie l'une ou l'autre question pour qui en aura la patience à propos d'un exercice qui me perturbe par les résultats obtenus...

Bonne soirée.

[Plume d'Oeuf]

Pas de quoi, ce forum est là pour ça.

Bonne soirée!

[Joe l indien]

bonjour,

Quelqu'un pourrait-il relire mon raisonnement pour l'exercice suivant? Je voudrais m'assurer qu'il est exempt de fautes.

On me demande de calculer le taux de variation de la fonction en un point quelconque d'abscisse "a" (j'ai choisi la valeur a=1).

Donc le taux de variation de f sur [1 x] =

Cette étape est-elle juste ?

Ensuite, pour calculer la limite du taux d'accroissement, j'obtiens des résultats pour le moins étranges. Pour y parvenir, se suis la méthode de mon cours qui consiste à remplacer "x" par une valeur se rapprochant de 1 (car dans mon cas j'ai choisi a=1). J'applique donc la formule ad hoc qui est ici . Ainsi, j'obtiens pour x=0,9 le résultat -2, pour x=0,99 le résultat 98 (!?) ou pour x=0,9999 le résultat 9998 (?!).

Est-ce que je me suis trompé quelque part ? Ou alors ces résultats sont ils causés par la nature de la fonction dont l'interprétation graphique est (selon moi) une droite et non une courbe ? (voir photo ci-dessous)

[Joe l indien]

J'inclus le dernier (ouf!) exercice de la série.

Voici mon raisonnement :

sur [0 x]



Est-ce bon jusque-là ?

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

bonjour,

Quelqu'un pourrait-il relire mon raisonnement pour l'exercice suivant? Je voudrais m'assurer qu'il est exempt de fautes.

Tu devrais ouvrir un nouveau fil pour un nouvel exercice!

bonjour,
On me demande de calculer le taux de variation de la fonction en un point quelconque d'abscisse "a" (j'ai choisi la valeur a=1).

Encore une fois je trouve ca surprenant qu'on te demande de calculer le taux de variation d'une fonction en un point, plutôt qu'entre deux points...

Donc le taux de variation de f sur [1 x] =

Cette étape est-elle juste ?

Oui c'est juste.

Une remarque ceci dit: le taux de variation entre deux points n'est autre que le coefficient directeur de la droite qui passe par ces deux points; or la fonction que tu as est une fonction affine (du type f(x)=ax+b où a et b sont des constantes réelles). Et les fonctions affines sont des équations de droite...

En réalité quelqu'aient été les points que tu choisissais, tu aurais forcément trouvé -2, qui est le coefficient directeur de la droite d'équation -2x+1

Ensuite, pour calculer la limite du taux d'accroissement, j'obtiens des résultats pour le moins étranges. Pour y parvenir, se suis la méthode de mon cours qui consiste à remplacer "x" par une valeur se rapprochant de 1 (car dans mon cas j'ai choisi a=1). J'applique donc la formule ad hoc qui est ici . Ainsi, j'obtiens pour x=0,9 le résultat -2, pour x=0,99 le résultat 98 (!?) ou pour x=0,9999 le résultat 9998 (?!).

Est-ce que je me suis trompé quelque part ? Ou alors ces résultats sont ils causés par la nature de la fonction dont l'interprétation graphique est (selon moi) une droite et non une courbe ? (voir photo ci-dessous)

Tu as dû te tromper dans tes calculs; je ne les ai pas tous refaits mais pour x=0.99 j'obtiens bien -2. As-tu oublié de soustraire f(1) au numérateur? Quand à l'interprétation graphique c'est bien une droite, comme discuté plus haut!

Bon courage!

[Plume d'Oeuf]

J'inclus le dernier (ouf!) exercice de la série.

Voici mon raisonnement :

sur [0 x]

Voulais tu dire f(x) = ??

Là ca ne va pas, tu as inversé la différence au numérateur.

Et ca c'est paaaaaas beau du tout!!


Si on peut effectivement écrire:



,

Il est faux et archi faux d'écrire:



En effet la racine d'un nombre peut aussi s'écrire comme ce nombre à la puissance 1/2:


Et les propriétés des puissances sont:


,




Bon courage!

[Joe l indien]

Encore une fois je trouve ca surprenant qu'on te demande de calculer le taux de variation d'une fonction en un point, plutôt qu'entre deux points...

Lorsqu'on calcule le taux pour disons [1 x] n'est-pas deux points ? En tout cas c'est toujours dans ce sens là que mon cours l'entend dans les exercices lorsqu'il demande par exemple de calculer le taux au point d'abscisse 2, il faut comprendre [2 x] ==> mais ce n'est peut-être pas ça que tu veux dire...mais dans tous les cas, c'est bien l'énoncé !

Une remarque ceci dit: le taux de variation entre deux points n'est autre que le coefficient directeur de la droite qui passe par ces deux points; or la fonction que tu as est une fonction affine (du type f(x)=ax+b où a et b sont des constantes réelles). Et les fonctions affines sont des équations de droite...

En réalité quelqu'aient été les points que tu choisissais, tu aurais forcément trouvé -2, qui est le coefficient directeur de la droite d'équation -2x+1

Il s'agit peut-être d'une petite "attrape" mais l'énoncé demande bel et bien de calculer le taux de la fonction f(x)=-2x+1. D'ailleurs pour autant que le "calcul" de la tangente d'une droite soit un élément pertinent (?), ne sera-t-elle pas effectivement superposée à la droite?

Pour le calcul des valeurs de x, je m'étais en effet trompé j'obtiens désormais chaque fois où a=0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; etc...

En ce qui concerne l'autre exercice :

J'ai effectivement inversé les termes du numérateur, sans compter l'erreur de raisonnement que tu as soulignée dans ma simplification donc tout faux dès le départ

Par contre, aucune idée de comment réduire la fraction :

[Plume d'Oeuf]

Lorsqu'on calcule le taux pour disons [1 x] n'est-pas deux points ?

Si, on peut entendre cela comme les points de coordonnées (1; f(1)) et (x;f(x)). Je suis juste surpris par l'expression "taux d'accroissement en un point" plutôt que "taux d'accroissement entre deux points" ou encore "taux d'accroissement sur un intervalle". Mais ça n'a pas d'importance!

Il s'agit peut-être d'une petite "attrape" mais l'énoncé demande bel et bien de calculer le taux de la fonction f(x)=-2x+1. D'ailleurs pour autant que le "calcul" de la tangente d'une droite soit un élément pertinent (?), ne sera-t-elle pas effectivement superposée à la droite?

Je n'ai pas dit que l'énoncé ne le demandais pas, seulement que puisque f est une équation de droite, le taux d'accroissement entre deux points de cette droite est forcément égal à son coefficient directeur.

Et en effet il y aura superposition

Par contre, aucune idée de comment réduire la fraction :

A nouveau comment passes tu de à ? Autrement qu'en faisant une erreur de manipulation sur les radicaux, je ne vois pas

La quotient que tu obtiens n'est pas vraiment simplifiable. Le plus pertinent selon moi serait de multiplier le numérateur et le dénominateur par . Tu obtiendras toujours une expression en fonction de x, mais qui as plus sens si tu tentes de faire tendre x vers 0!

En affirmant qu'elle a plus de sens, j'anticipe sur la notion de dérivée en un point, qui vient après les taux d'accroissements.

Bon courage!

[Joe l indien]

Ok, disons que je laisse

Si je ne m'abuse, pour calculer le coefficient angulaire de la tangente, je détermine la valeur de où la valeur de x tend vers 0. J'obtiens -0,488 pour x = -0,1 et -0,5 pour x = -0,00001. Cela semble-t-il correct? Ainsi, la limite du rapport est -0,5 lorsque x tend vers zéro.

[Plume d'Oeuf]

Oui c'est bien ça !

[Joe l indien]

merci Plume d'oeuf

[Plume d'Oeuf]

Pas de quoi.

Bon courage!