Système de deux équations à trois inconnues

[inviteae240895]

Bonjour !

Je n'arrive pas à résoudre ce système :

a+b+c = 7
abc = 2

avec a,b et c des réels.

Merci d'avance !
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[invite9168226d]

Il ne manquerait pas une troisième équation (système de 2 équations à 3 inconnues, ça semble difficile)?

[inviteae240895]

Non il n'en manque pas.
Et oui c'est difficile, c'est pourquoi je m'en remets à vous

[danyvio]

On peut éliminer une variable en injectant dans la 1ère équation le fait que a= 2/bc et dans la deuxième le fait que a = 7 - (b+c)
On obtient une chose horrible à résoudre:

(2/bc) + (b+c) =7

(7-(b+c))bc = 2

Je ne suis pas allé plus loin, mais une variable a disparu

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Finalement, c'est ensuite facile à résoudre. Merci qui ?

[invitee4ef379f]

Bonjour,

On peut éliminer une variable en injectant dans la 1ère équation le fait que a= 2/bc et dans la deuxième le fait que a = 7 - (b+c)
On obtient une chose horrible à résoudre:

(2/bc) + (b+c) =7

(7-(b+c))bc = 2

Je ne suis pas allé plus loin, mais une variable a disparu

Je n'ai pas plus de solution, mais en faisant ça on obtient deux fois la même équation à deux inconnues:

(7-b-c)bc = 2

Ça serait trop beau: on pourrait ramener tous les systèmes sous déterminés à des systèmes déterminés!

[shokin]

Ça serait trop beau: on pourrait ramener tous les systèmes sous déterminés à des systèmes déterminés!

En fait, il reste sous-déterminé : tu as quand même une infinité de solution.

Soit le système suivant :

a+b+c = 7
abc = 2

Dans chacune des deux équations, tu isoles c (ça aurait pu tout autant être a ou b, mais j'ai choisi la dernière lettre) :

c = 7-a-b
c = 2/ac

Par transitivité, tu obtiens l'équation suivante :

7-a-b = 2/ab

Tu mets tout du même côté pour obtenir une équation du second degré, dont l'inconnue sera b (ou a, mais, de nouveau, j'ai choisi la dernière lettre).

ab² + (a² - 7a)b + 2 = 0

Tu auras alors deux solutions pour b en fonction de a.

Une fois b exprimé en fonction de a, tu refais de même pour exprimer c en fonction de a et de b, puis alors c en fonction de b. [Un méli-mélo quand on doit l'écrire.]



Shokin

[inviteae240895]

Et donc cela nous fait une infinité de solution ? On aura juste à choisir par exemple une valeur pour a, b ou c et comme on a l'expression de chacun en fonction des autres on peut en déduire leurs valeurs ?

[shokin]

Voilà !

D'un côté, comme tu as plus d'inconnues que d'équations, il n'est pas étonnant de trouver un système indéterminé.



Shokin

[danyvio]

Désolé, il y a une solution très précise !

[inviteae240895]

Pourrais-tu être plus précis stp danyvio ?

[shokin]

Désolé, il y a une solution très précise !

Y en a-t-il une seule ?



Shokin

[inviteaf48d29f]

Non il y en a plusieurs. Premièrement a, b et c jouent des rôles identiques. Si on trouve une solution, on en a automatiquement d'autres en interchangeant les valeurs de a, de b et de c. Mais même sans ça a=1, b=3+√6 et c=3-√6 est solution au même titre que
a=2, b=(1/2)(5+√19) et c=(1/2)(5-√19)

Le cas général est très chiant à écrire, mais on peut choisir quasiment n'importe quel réel a, dans ce cas l'ensemble {b,c} est fixé (b et c restent interchangeables). Il y a quelques conditions sur a, mais j'ai la flemme de les expliciter, par exemple a<>0 car sinon la deuxième équation est absurde.

[shokin]

Une des solutions est {a;b;c} = {-1/2 ; -1/2 ; 8}

J'énonce sous forme d'ensembles car a, b et c ont "le même rôle".



Shokin

[danyvio]

Mais même sans ça a=1, b=3+√6 et c=3-√6

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abc = 2 ????????