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Système de deux équations à trois inconnues



  1. #1
    adn237

    Système de deux équations à trois inconnues


    ------

    Bonjour !

    Je n'arrive pas à résoudre ce système :

    a+b+c = 7
    abc = 2

    avec a,b et c des réels.

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    uhart94

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Il ne manquerait pas une troisième équation (système de 2 équations à 3 inconnues, ça semble difficile)?
    Dernière modification par uhart94 ; 03/04/2010 à 16h18.

  4. #3
    adn237

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Non il n'en manque pas.
    Et oui c'est difficile, c'est pourquoi je m'en remets à vous

  5. #4
    danyvio

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    On peut éliminer une variable en injectant dans la 1ère équation le fait que a= 2/bc et dans la deuxième le fait que a = 7 - (b+c)
    On obtient une chose horrible à résoudre:

    (2/bc) + (b+c) =7

    (7-(b+c))bc = 2

    Je ne suis pas allé plus loin, mais une variable a disparu
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  6. #5
    danyvio

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Finalement, c'est ensuite facile à résoudre. Merci qui ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Plume d'Oeuf

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Bonjour,

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    On peut éliminer une variable en injectant dans la 1ère équation le fait que a= 2/bc et dans la deuxième le fait que a = 7 - (b+c)
    On obtient une chose horrible à résoudre:

    (2/bc) + (b+c) =7

    (7-(b+c))bc = 2

    Je ne suis pas allé plus loin, mais une variable a disparu
    Je n'ai pas plus de solution, mais en faisant ça on obtient deux fois la même équation à deux inconnues:

    (7-b-c)bc = 2

    Ça serait trop beau: on pourrait ramener tous les systèmes sous déterminés à des systèmes déterminés!

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  10. #7
    shokin

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    Ça serait trop beau: on pourrait ramener tous les systèmes sous déterminés à des systèmes déterminés!
    En fait, il reste sous-déterminé : tu as quand même une infinité de solution.

    Soit le système suivant :

    a+b+c = 7
    abc = 2

    Dans chacune des deux équations, tu isoles c (ça aurait pu tout autant être a ou b, mais j'ai choisi la dernière lettre) :

    c = 7-a-b
    c = 2/ac

    Par transitivité, tu obtiens l'équation suivante :

    7-a-b = 2/ab

    Tu mets tout du même côté pour obtenir une équation du second degré, dont l'inconnue sera b (ou a, mais, de nouveau, j'ai choisi la dernière lettre).

    ab2 + (a2 - 7a)b + 2 = 0

    Tu auras alors deux solutions pour b en fonction de a.

    Une fois b exprimé en fonction de a, tu refais de même pour exprimer c en fonction de a et de b, puis alors c en fonction de b. [Un méli-mélo quand on doit l'écrire.]



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  11. #8
    adn237

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Et donc cela nous fait une infinité de solution ? On aura juste à choisir par exemple une valeur pour a, b ou c et comme on a l'expression de chacun en fonction des autres on peut en déduire leurs valeurs ?

  12. #9
    shokin

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Voilà !

    D'un côté, comme tu as plus d'inconnues que d'équations, il n'est pas étonnant de trouver un système indéterminé.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    danyvio

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Désolé, il y a une solution très précise !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  14. #11
    adn237

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Pourrais-tu être plus précis stp danyvio ?

  15. #12
    shokin

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Désolé, il y a une solution très précise !
    Y en a-t-il une seule ?



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  17. #13
    S321

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Non il y en a plusieurs. Premièrement a, b et c jouent des rôles identiques. Si on trouve une solution, on en a automatiquement d'autres en interchangeant les valeurs de a, de b et de c. Mais même sans ça a=1, b=3+√6 et c=3-√6 est solution au même titre que
    a=2, b=(1/2)(5+√19) et c=(1/2)(5-√19)

    Le cas général est très chiant à écrire, mais on peut choisir quasiment n'importe quel réel a, dans ce cas l'ensemble {b,c} est fixé (b et c restent interchangeables). Il y a quelques conditions sur a, mais j'ai la flemme de les expliciter, par exemple a<>0 car sinon la deuxième équation est absurde.

  18. #14
    shokin

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Une des solutions est {a;b;c} = {-1/2 ; -1/2 ; 8}

    J'énonce sous forme d'ensembles car a, b et c ont "le même rôle".



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  19. #15
    danyvio

    Re : Système de deux équations à trois inconnues

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Mais même sans ça a=1, b=3+√6 et c=3-√6

    .
    abc = 2 ????????
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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