Devoir maison cercle et équation

[invitec32544c9]

Bonjour!!

J'ai un devoir maison et j'ai un petit souci sur deux questions.
Equations cercles:
C1²+y²-4x-6y+4=0
C2²+y²-12x+32=0
1)Centre et rayon de chaque cercle.
2)Intersections des deux cercles.
3)Définir (trouver) un troisième cercletangent à C1 et C2 en même temps soit en donnant l'équantion du cercle soit en donnant son centre et son rayon.

Réponse:

1)C1²-4x+2²+y²-6y+3²=-4+2²+3²
C1: (x-2)²+(y-3)²=4+4+9=9=3²
C1 cercle de centre I(2;3) et de rayon 3.

C2²-12x+6²+y²+0y+0²=32++6²+0²
C2: (x-6)²+(y+0)²=-32+36+0=4=2²
C2 cercle de centre I(6;0) et de rayon 2.

2)système:
x²+y²-4x-6y+4=0
x²+y²-12x+32=0
Je soustrais les deux équations:
8x-6y-28=0
8x-28=6y
y=8x-28/6
y=4x/3-14/3
Ensuite je remplace dans C1:
C1²+(4x/3-14/3)²-4x-6(4x/3-14/3)+4=0
x²+(4x/3)²-2(4x/3)(14/3)+(14/3)²-4x-24x/3+84/3+4=0
x²+16x²/9-112x/9+192-4x-24x/3+84/3+4=0
(9x²+16x²-112x+196-36x-72x+252+36)/9=0
25x²/9-220x/9+484/9=0
Ensuite je calcule :
=b²-4ac
=(-220/9)²-4*(25/9)*(484/9)
=48400/81-48400/81
=0
x1=x2=-b/2a
x1=x2=(220/9)/2*(25/9)=(220/9)/(50/9)
x1=x2=220/9*9/50=1980/450=22/5
puis je remplace x dans l'expressin de y:
y=(4*(22/5))/3)-14/3
y=((88/5)/3)-14/3
y=88/5*1/3-14/3
y=88/15-14/3
y=88/15-70/15
y=18/15=6/5
donc le couple soulution est: (22/5;6/5)

3)J'ai pas compris comment faire.

Est-ce-que quelqu'un aurait la gentillsse de me dire si ce que j'ai fais est juste et de m'expliquer ce que j'ai pas compris?
-----

[invitec32544c9]

Escussé-moi les sont à remplacer par des x

[Duke Alchemist]

Bonjour.

As-tu fais un dessin de la situation même approximatif ?

Si je te propose de tracer la droite passant par les centres de tes deux premiers cercles, est-ce que cela te met sur la voie ?

Duke.

EDIT : je n'ai pas refait les calculs mais c'est normal que tu n'aies qu'un "point d'intersection" ?
Re-EDIT : A priori oui avec un dessin fait un peu vite...

[invitec32544c9]

je n'ai pas compris comment faire avec ce que tu me proposes.
Pourquoi tu dis que c'est normal d'avoir qu'un "seul point d'intersection"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Ce que tu appelles couple de solution correspond en fait aux coordonnées d'un même point : celui de tangence en l'occurence.

Maintenant pour le cercle tangent simultanément aux deux autres cercles, il y en a une infinité en fait.
Le plus simple (pour moi) est celui dont le diamètre correspond à la somme des deux diamètres d'où l'idée du prolongement proposé...

Maintenant, le cercle de rayon 1 et de centre (6;3) fait tout autant l'affaire

Duke.

[invitec32544c9]

Merci mais comment tu as trouvé le centre et le rayon du cercle qui coupe les deux autres?

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Le troisième cercle ne coupe pas les deux autres, mais doit leur être tangent.

Soit C₃ le 3e cercle. Tu pouvais commencer par écrire que la distance entre les centre de C₁ et C₃ est égale à la somme des rayons de C₁ et C₃. En écrivant le même type de relation entre C₂ et C₃, tu aurais obtenu un système de 3 équations à 2 inconnues, insolvable donc: il y a une infinité de solutions!

Cependant, ton énoncé stipulait de trouver UN cercle tangent aux deux autres, et non pas LE cercle tangent aux deux autres.

A partir de là tu avais le choix de prendre le rayon qui te plaisait.

Duke Alchemist a choisi le cercle de rayon (r₁ + r₂) et de centre le milieu du segment [O₁O₂] (où r₁, r₂, O₁ et O₂ sont respectivement les rayons et les centres de C et C).

Il faut voir que ce cercle est celui qui entoure les deux autres.

Bien entendu, tu n'es pas obligé(e) de faire le même choix.

Bon courage!

[invitec32544c9]

Merci

J'ai pas trop compris comment tu fais pour écrire la troisième équations. Peux-tu me montrer?

Je suis pas d'accord avec ce que tu as écrit Duke Alchemist a choisi le cercle de rayon (r1 + r2) et de centre le milieu du segment [O1O2] (où r1, r2, O1 et O2 sont respectivement les rayons et les centres de C et C).
Ill n'a pas pu choisir le cercle de rayon (r1+r2) puisuq eil a mis que le rayon=1 alors que si il avait fait comme tu dis (r1+r2) il aurait du trouver comme rayon 5, j'ai pas compris comment tu trouve les coordonnées du centre.

Est-ce-que tu peux aussi m'expliquer comment on trouve une équantion possible du cercle C3 puisque je dois trouver où le centre et le rayon ou l'équation?

Merci

[Duke Alchemist]

... Duke Alchemist a choisi le cercle de rayon (r₁ + r₂) et de centre le milieu du segment [O₁O₂] (où r₁, r₂, O₁ et O₂ sont respectivement les rayons et les centres de C et C).

Il faut voir que ce cercle est celui qui entoure les deux autres

Plume d'Oeuf parlait de ma première proposition.

En effet, le deuxième cercle que j'ai proposé est "plus simple" à voir.
Pour répondre à ta question, mel 75, je dessine plutôt bien d'où ma réponse rapide C3 : C(1;(6;3)).
Maintenant, pour une démo rigoureuse, c'est un peu plus costaud mais j'y réfléchis

Duke.

EDIT : Je pense qu'il faut raisonner comme les points précédents en fait.

[invitee4ef379f]

Soit C₃ le 3e cercle. Tu pouvais commencer par écrire que la distance entre les centre de C₁ et C₃ est égale à la somme des rayons de C₁ et C₃. En écrivant le même type de relation entre C₂ et C₃, tu aurais obtenu un système de 3 équations à 2 inconnues, insolvable donc: il y a une infinité de solutions!

Je pense qu'à partir de là en fixant un rayon arbitrairement (pourquoi pas 1) le système devient solvable, quoique je l'admets pas du tout motivant.

[invitec32544c9]

Merci

Mais j'aimerais savoir comment on écrit l'équation du cercle 3?

[invitee4ef379f]

Tu nous as montré que tu savais ce qu'était une équation de cercle. Une fois que tu connais son rayon et son centre, il n'y a plus grande difficulté.

Tu devrais faire un dessin et reprendre ce qui a été dit pour mieux voir les choses.

[invitec32544c9]

Oui mais je n'ai toujours pas compris comment il a fait pour trouver le centre et le rayon du cercle parce que dans ma copie je pense pas que je puise marquer la réponse comme ça. Je pense qu'il faut que j'explique pourquoi ça marche et justement je ne sais pas comment expliquer.

[invitee4ef379f]

Soit C₁ le cercle de centre (2;3), de rayon 2 et C₂ celui de centre (6;0) et de rayon 3.

Soit le cercle C₃ de centre (x₃;y₃) et de rayon r₃.

C₃ peut être tangent aux deux autres cercles de trois manières: (1) soit il entoure les deux autres cercles, (2) soit il est à l'extérieur des deux autres cercles, (3) soit il est à l'intérieur de la zone d'intersection des deux autres cercles/disques.

En fonction du cas que tu choisis, les équations que tu dois écrire sont différentes, mais dans tous les cas il y a plusieurs solutions.

Pour le cas (3) je n'ai pas fait les calculs.

Le premier choix de Duke Alchemist était le (1), et c'est effectivement le plus simple.
La justification se fait en français: trace la droite passant par les centres des deux premiers cercles et argumente.

Pour le (2), il faut poser tout ce que j'ai dit dans mon post #7, soit:
(x₃-2)²+(y₃-3)² = (r₃+2)²
(x₃-6)²+(y₃-0)² = (r₃+3)²

Le système est sous déterminé, alors on choisit un rayon r₃ (pourquoi pas r₃=1) et il n'y a plus qu'à résoudre le système ci dessus.

Bon courage!

[invitec32544c9]

Merci mais pour le chois (1) on choisit en fait pour le rayon n'importe quel chiffre?

[invitee4ef379f]

Duke Alchemist a choisi le cercle de rayon (r₁ + r₂) et de centre le milieu du segment [O₁O₂] (où r₁, r₂, O₁ et O₂ sont respectivement les rayons et les centres de C et C).

J'ajoute que je me suis trompé sur la position du centre du cercle dans ce post.

[invitee4ef379f]

Merci mais pour le chois (1) on choisit en fait pour le rayon n'importe quel chiffre?

Non, tu ne choisis pas ce que tu veux.

[invitec32544c9]

Merci beaucoup pour toute cette aide j'ai tout compris.

[invitec32544c9]

J'ai fais le calcul et j'aimerais que tu me dise si ce que j'ai fais est juste.
(x₃-2)²+(y₃-3)²=(r₃+2)²
(x₃-6)²+(y₃-0)²=(r₃+2)²
On choisit r=1
(x-2)²+(y-3)²=(1+2)²
(x-6)²+(y-0)²=(1+3)²

x²-4x+2²+y²-6y-3²=1²+4+4
x²-12x+6²+y²+0y+0²=1²+6+9

x²-4x+4+y²-6y+9-9=0
x²-12x+36+y²0y-16=0
ensuite je soustrais les deux systèmes:
8x-23-6y-7=0
puis j'isole y:
8x-23+7=6y
y=8x/6-16/6
y=4x/3-8/3

ensuite je remplace y dans la première équation:
x²-4x+13+(4x/3-8/3)²-6(4x/3-8/3)-9=0
x²-4x+16x²/9-64/9-24x/3-48/3-9=0
9x²/9-36/9+117/9+16x²/9-64/9-72x/9-114/9-81/9=0
25x²/9-108x/9-172/9=0
Puis je calcule delta:
delta=b²-4ac
delta=(-108/9)²-4*(25/9)*(-172/9)
delta=(11664/81-(-17200/81)
delta=28864/81
Puis je calcule x1 et x2:
x1=(-b+√delta)/2a
x2=(-b-√delta)/2a
x1=(12+(√28864/81))/2*((25/9)
x1=(12+(√28864/81))/(50/9)
x1=12+(√28864/81))*9/50
x1=108/40+(√259776/4050)
x1=108/50+(√14432/225)

x2=108/50-(√14432/225)
ensuite je remplace dans l'équation y=4x/3-8/3
x par x1 puis par x2 et je trouve donc deux couples (x1;y1) et (x2;y2).


Est-ce-que tu peux me dire si mes calculs son bon? Ils me seemblent bizarre parce que je trouve des racines très grande.

[invitec32544c9]

Je me suis trompée dans les calcule parce que en recopiant les deux équations j'avais pas vu que tu t'étais trompé les rayons des cercles 1 et 2 sont inersés. Le rayon du cercle 1 et 3 et le rayon du cercle 2 et 2.
Donc je refais mes calculs en modifiant.

(x3-2)²+(y3-3)²=(r3+3)²
(x3-6)²+(y3-0)²=(r3+2)²
On choisit r=1
(x-2)²+(y-3)²=(1+3)²
(x-6)²+(y-0)²=(1+2)²

x²-4x+2²+y²-6y-3²=1²+6+9
x²-12x+6²+y²+0y+0²=1²+4+4

x²-4x+4+y²-6y+9-16=0
x²-12x+36+y²0y-9=0
ensuite je soustrais les deux systèmes:
8x-23-6y-7=0
puis j'isole y:
8x-23+7=6y
y=8x/6-16/6
y=4x/3-8/3

ensuite je remplace y dans la première équation:
x²-4x+13+(4x/3-8/3)²-6(4x/3-8/3)-16=0
x²-4x+16x²/9-64/9-24x/3-48/3-16=0
9x²/9-36/9+117/9+16x²/9-64/9-72x/9-114/9-144/9=0
25x²/9-108x/9-235/9=0
Puis je calcule delta:
delta=b²-4ac
delta=(-108/9)²-4*(25/9)*(-235/9)
delta=(11664/81+23500/81
delta=35164/81
Puis je calcule x1 et x2:
x1=(-b+√delta)/2a
x2=(-b-√delta)/2a
x1=(12+(√35164/81))/2*((25/9)
x1=(12+(√35164/81))/(50/9)
x1=12+(√35164/81))*9/50
x1=108/50+(√316476/4050)
x1=108/50+(√17582/225)

x2=108/50-(√17582/225)
ensuite je remplace dans l'équation y=4x/3-8/3
x par x1 puis par x2 et je trouve donc deux couples (x1;y1) et (x2;y2).

Est-ce-que tu peux me dire si mes calculs son bon? Ils me semblent bizarre parce que je trouve des racines très grande.

[invitec32544c9]

Rebonjour!!

En revoyant le calcul, je trouve bizarre d'avoir fait un sytème parce que ce que je veux trouver c'est pas les intersections avec le les deux autres cercles mais où le centre et le rayon ou l'équation du troisième cercle.

Donc j'aimerais savoir si je me suis pas enbarquée dans quelque chose de faux et qu'est-ce-qu'il faut faire.

D'avance merci

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Comme on l'a déjà dit, il n'y a pas qu'un seul troisième cercle possible, il y en a plein, à toi d'en choisir un.

Par exemple tu peux choisir un rayon r, et calculer les coordonnées d'un cercle de rayon r tangent aux deux autres.

Tu n'as pas besoin de trouver toutes les solutions pour le couple (x;y), juste une solution particulière suffit.

De plus il y a une erreur ici quand tu isoles y, c'est ce qui te vaut les grandes racines derrières.

x²-4x+4+y²-6y+9-16=0
x²-12x+36+y²-9=0
ensuite je soustrais les deux systèmes:
8x-23-6y-7=0
puis j'isole y:
8x-23+7=6y

Parmi les couples solutions de ce systèmes figure le cercle de Duke Alchemist C(1,(6;3))!



Je l'ai obtenu en isolant y comme toi et en remplaçant y dans la seconde équation (ca me paraissait plus simple car il n'y figurait qu'un terme en y²):

x²-12x+36+y²-9=0

Bon courage!

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je pense que la résolution d'un système est inévitable mais encore faut-il poser le bon système.

Je te propose de trouver a, b et R tels que (x-a)²+(y-b)² = R² qui correspond au cercle C de rayon R et dont le centre a pour coordonnées (a;b).
Il te faut déterminer les intersections avec les cercles C2 et C1 indépendamment l'une de l'autre.
Cela risque de devenir assez vite lourd. Je cherche un moyen plus rapide.

Sinon, en partant d'un dessin soigné, fais l'hypothèse que j'ai faite (Cercle de rayon 1 et de centre (6;3)) et vérifie qu'il est bien tangent simultanément aux deux autres cercles.
Vois-tu que ce cercle semble être tangent à ces deux cercles ?

Duke.

EDIT : Grillé...

[invitee4ef379f]

Rebonjour!!

En revoyant le calcul, je trouve bizarre d'avoir fait un sytème parce que ce que je veux trouver c'est pas les intersections avec le les deux autres cercles mais où le centre et le rayon ou l'équation du troisième cercle.

Donc j'aimerais savoir si je me suis pas enbarquée dans quelque chose de faux et qu'est-ce-qu'il faut faire.

D'avance merci

Le système que je t'ai proposé permet bien de calculer les coordonnées d'un cercle de rayon 1 tangent aux deux autres cercles.

Reprenons nos notations:
C₁ le premier cercle de rayon 3 et de centre (2;3)
C₂ le second cercle de rayon 2 et de centre (6;0)
C₃ le troisième cercle de rayon r₃ et de centre (x₃;y₃)

Nous choisissons que C₃ est à l'extérieur de C₁ et C₂, et ne les entoure pas non plus.

C₃ est tangent à C₁, donc la distance (au carré) du centre de C₃ au centre de C₁ est égale à la somme (au carré) de leurs rayons, soit:
(x₃-2)²+(y₃-3)²=(r₃+3)²

C₃ est tangent à C₂, donc la distance (au carré) du centre de C₃ au centre de C₂ est égale à la somme (au carré) de leurs rayons, soit:
(x₃-6)²+(y₃-0)²=(r₃+2)²

On veut donc résoudre le système:
(x₃-2)²+(y₃-3)²=(r₃+3)²
(x₃-6)²+(y₃-0)²=(r₃+2)²

Mais celui ci est sous déterminé: 3 variables (x₃, y₃ et r₃) pour deux équations. Il y a une infinité de solutions.


L'énoncé cependant ne demande pas de trouver LE cercle tangent mais UN cercle tangent. Nous sommes donc libres de choisir le rayon de notre cercle, mettons r₃=1.
Le système devient:
(x₃-2)²+(y₃-3)²=4²
(x₃-6)²+(y₃-0)²=3²

Et est maintenant solvable.

Bon courage!

[invitee4ef379f]

Bonjour.
Sinon, en partant d'un dessin soigné, fais l'hypothèse que j'ai faite (Cercle de rayon 1 et de centre (6;3)) et vérifie qu'il est bien tangent simultanément aux deux autres cercles.
Vois-tu que ce cercle semble être tangent à ces deux cercles ?

Duke.

C'est ce qui paraît encore le plus simple!

Bon courage!

[invitec32544c9]

Merci mais déja je vois pas où est mon erreur dans la résolution du système et une fois que j'aurais résolu le système je vais trouver x1 et x2 que je vais tremplacer dans l'expression y= donc je vais avoir (x1;y1) et (x2;y2) qui sont les couples des intersections des deux cercles mais de là je fais comment pour trouver le centre de C3?

[invitee4ef379f]

8x-23-6y-7 = 0 <=> 8x-23-7 = 6y

Et non pas
8x-23+7 = 6y

Ensuite en résolvant ton système, tu trouves plusieurs couples solutions qui seront plusieurs centres possibles pour qu'un cercle de rayon 1 soit tangent aux deux autres. Ce ne seront pas des points d'intersection.

Bon courage!

[invitec32544c9]

Merci

Mais dans la question 2 pour trouver les points d'intersections des deux cercles j'ai ausi fais un système avec le même raisonnement et j'ai trouvé les intersections donc pourquoi ici ce n'est pas les intersections avec les deux cercles qu'on trouve mais différents centres pour un même rayon??

[invitee4ef379f]

Parce que pour la question 2 tu n'as pas fait un système avec le même raisonnement

Regarde bien, pour la question 2 les membre de droite de ton équations correspondaient aux rayons de tes cercles.

Là les membres de droites correspondent chacun à une somme de rayons!

Bon courage!

[invitee4ef379f]

En soit on se rend compte que cela revient bien à chercher l'intersection des deux cercles de centres respectifs (2;3) et (6;0), mais de rayons respectifs (3+r₃) et (2+r₃), et non plus 3 et 2 comme dans la question 2.

C'est pour cela certainement que tu penses que les raisonnements sont identiques, et en un sens tu as donc raison; seulement les rayons n'étant plus les mêmes, il ne s'agit plus des cercles C₁ et C₂.

Bon courage!