Similitude indirecte -spé TS

[invite28241e9f]

Bonsoir à tous!
J'aurais besoin d'un peu d'aide pour terminer un DM! On doit étudier une similitude non directe qui a z associe (1+i)Z (Z= z barre)
Je n'arrive pas à montrer de manière géométrique de cette similitude n'a pas d'autres points fixes que O...
Par la suite, nous devons montrer que cette similitude est la composée d'une symétrie axiale d'axe passant pas 0 et d'une homothétie de centre 0 et ici encore je bloque pour démontrer que c'est une symétrie d'axe passant par O puisque ce n'est pas d'axe des abscisses n'est-ce pas?
Merci d'avance pour votre aide.
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[invite5150dbce]

De manière géométrique ? C'est peut-être plus simple de manière analytique, non ?

[invite28241e9f]

La première question était de le montrer en résolvant un système d'équations linéaires avec des x et y et j'ai réussi cette partie. Mais ensuite il demande précisément de façon géométrique et je ne vois même pas par où débuter...

[invite5150dbce]

Bonsoir à tous!
J'aurais besoin d'un peu d'aide pour terminer un DM! On doit étudier une similitude non directe qui a z associe (1+i)Z (Z= z barre)
Je n'arrive pas à montrer de manière géométrique de cette similitude n'a pas d'autres points fixes que O...
Par la suite, nous devons montrer que cette similitude est la composée d'une symétrie axiale d'axe passant pas 0 et d'une homothétie de centre 0 et ici encore je bloque pour démontrer que c'est une symétrie d'axe passant par O puisque ce n'est pas d'axe des abscisses n'est-ce pas?
Merci d'avance pour votre aide.

On peut raisonner de la manière suivante :
On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe un point A différent de O du plan tel que A soit invariant par la transformation étudiée. Soit zA l'affixe de A
Pour tout point M du plan d'affixe z, on a |z(barre)|=|z|
Par conséquent |zA|=|1+i||zA|
d'où |zA|(1-|1+i|)=0
<=>OA(1-2^1/2)=0
<=>OA=0
Donc A et O sont confondus, ce qui est absurde
D'où l'unicité

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28241e9f]

Je comprends la démonstration cependant, comment passez-vous de cette ligne : "Par conséquent |zA|=|1+i||zA| " à la suivante :"d'où |zA|(1-|1+i|)=0" cela ne fait pas (par division de |zA|): |1+i|= 0 ?

[invitee4ef379f]

Je pense que tu devrais refaire la division

Cependant, c'est une mauvaise idée de diviser car au final il se trouve que cette égalité est vraie uniquement si |zA|=0. Autrement dit tu divises par zéro...

[invitee4ef379f]

Ce que je veux dire c'est que tu ne peux pas te passer de |zA| dans cette équation, sinon elle devient fausse (dû au fait que |zA| est nul, ou plutôt que (1-|1+i|) est non nul).

[invite28241e9f]

Hum okay okay! J'ai compris la transition.
Par contre, savez-vous comment faire pour montrer que c'est une composée avec une symétrie axiale?

[invite5150dbce]

tant mieux alors

[invite5150dbce]

La question est de savoir quelle est l'écriutre complexe d'une symétrie axiale.
M est l'image de M' par la symétrie d'axe (D) signifie que (D) est la médiatrice de [MM']
Il faut traduire ça avec les complexes

[invitee4ef379f]

Je ne remets pas en cause ta démonstration, je dis juste que si on essaie de diviser |zA||1-(1+i)| =0 par |zA| (en admettant que cela soit possible), on obtient |1+i|=1 et non pas |1+i| = 0 comme le suggérait Llayn.

Ensuite j'essaie d'expliquer pourquoi justement il n'est pas possible de diviser cette équation par |zA|.

[invite28241e9f]

Re : Similitude indirecte -spé TS
La question est de savoir quelle est l'écriutre complexe d'une symétrie axiale.
M est l'image de M' par la symétrie d'axe (D) signifie que (D) est la médiatrice de [MM']
Il faut traduire ça avec les complexes

=> L'écriture complexe d'une symétrie est de la forme z=az(barre)... sachant que pour une symétrie d'axe des abscisse c'est z=z(barre)