Produit Scalaire : Cocyclicité

[invitecda24591]

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur la cocyclicité, mais le problème c'est que nous n'avons pas fait le cours sur ça, donc si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.

1) A,B,C,D sont quatre points d'un cercle C tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en E.
Justifier que EA.EB=EC.ED (vecteurs)

2) Réciproquement soit deux droites (AB) et (CD) sécantes en E et telles que: EA.EB=EC.ED (vecteurs).
Montrer que les points A,B,C et D sont cocycliques.
Indication: Si le cercle circonscrit à ABC soupe (CD) en D', montrer que D'=D.

Pour la question 1) j'ai mis:

On a E un point quelconque, C un cercle de centre O et de rayon R et une droite sécante au cercle C en deux points A et B
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EA.EB (vecteurs)= OE²-R²

De plus, on a une autre droite sécante au cercle C au deux points C et D
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EC.ED (vecteurs)= OE²-R²

D'où : EA.EB=EC.ED (vecteurs)

Ma réponse est-elle juste ?

Mais pour la question 2) je n'ai aucune idée
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[US60]

Oui le 1) est correct c'est du cours

[invitecda24591]

D'accord merci, et pour la question 2 je ne vois pas comment faire

[US60]

Faire ce qu'on te dit supp. que A,B,C,D vérifient les hypothèses
donc EA.EB=EC.ED et on considère le cercle circonscrit à ABC qui existe car A;B;C non alignés ( les droites se coupent en E )
Ce cercle va couper (CD) en D' faire un dessin alors on peut dire que
EA.EB =EC.ED' pour ces 4 points C;A;B;D' sur le cercle ceci d'après 1)
Donc EA.EB=EC.ED=EC.ED' en vecteurs
etc.... l

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecda24591]

Ok, merci beaucoup pour ton aide

[US60]

De rien...As-tu terminé ?

[invitecda24591]

Euh presque, j'y regarde là

[invitecda24591]

Alors, j'ai mis:

Si EA.EB=EC.ED, alors les points A,B,C,D sont cocycliques.
De plus, on considère le cercle circonscrit au triangle ABC qui existe puisque les points A,B, et C ne sont pas alignés. Ce cercle coupe alors la droite passant par le point C en D'.
D'après la question 1), on a EA.EB=EC.ED'
Or, EA.EB=EC.ED=EA.ED'. Soit D=D'

Les quatre points A,B,C, et D situés sur le cercle C sont donc cocycliques.

La réponse est-elle correcte? Il y a-t-il assez de justifications?

[invitecda24591]

Pour justifier que D=D' :

EC.ED=EC.ED'
EC.ED=EC.(ED+DD')
EC.DD'=0
Or EC et DD' sont colinéaires donc non orthogonaux et EC n'est pas le vecteur nul.
Donc DD'=0 et D'=D

[US60]

NON !
Au début on ne sait pas que A.B.C.D sont cocycliques donc ne pas l'écrire on sait par contre que EA.EB=EC.ED traçons le cercle circonscrit au triangle ABC qui coupe (CD) en D' , montrons que D=D' comme A ;B;C;D' SONT cocycliques le 1) dit que EA.EB=EC.ED' et Donc EA.EB=EC.ED=EC.ED' en vecteurs alors EC.(ED-ED')=0 vecteurs nul ou EC.D'D = 0
C;D;D' et E sont alignés donc ce produit scalaire donne +ou- ECxDD'=0 là ce sont des longueurs ....comme EC est non nul c'est que DD'=0 et D=D' C'EST TOUT !!! Et tu énonces donc la réciproque c'est à dire ce que tu as démontré .

[US60]

OK nous avons écrit en même temps !!

[invitecda24591]

Ok merci

[US60]

You're welcome..
Un doute me ronge...Vous n'avez pas fait le cours sur la puissance d'un point par rapport à un cercle donc EA.EB=OE²-R² et EC.ED=OE²-R² ceci doit être démontré et pas simplement affirmé comme résultat déjà démontré .

[invitecda24591]

Non je n'ai pas le cour sur la cocyclicité, le prof' nous donne des DM sur des choses que l'on a pas vu en cours, pour nous faire gagner du temps...

[US60]

Donc il faut démontrer ces 2 égalités !! Tu n'es pas sensé les connaître à priori

[invitecda24591]

non je ne les connaissais pas

[US60]

Donc au début du devoir il FAUT le démontrer je pensais que tu avais réussi à le démontrer

[invitecda24591]

il faut que je démontre que EA.EB=EC.ED ?

[US60]

OUI c'est la première question , je croyais que tu l'avais trouvée ...

[US60]

Il est écrit 1) Justifier que EA.EB=EC.ED en vecteurs

[invitecda24591]

Pour la question 1) j'ai mis:

On a E un point quelconque, C un cercle de centre O et de rayon R et une droite sécante au cercle C en deux points A et B
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EA.EB (vecteurs)= OE²-R²

De plus, on a une autre droite sécante au cercle C au deux points C et D
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EC.ED (vecteurs)= OE²-R²

D'où : EA.EB=EC.ED (vecteurs)

C'est justifier non?

[US60]

NON parce que tu n'as pas fait la leçon sur la puissance d'un point par rapport à un cercle , tu n'es pas censé savoir qu'on trouve toujours OE²-r² donc cette égalité est à prouver

[invitecda24591]

Euh si. En fait l'exercice que je vous ai donné est la suite d'un autre exercice où il fallait démontrer que MA.MB=OM²-R². J'ai donc utilisé la puissance d'un point par rapport à un cercle pour démontrer que EA.EB=EO²-R²

[US60]

Là c'est OK donc

[invitecda24591]

Ok Encore merci pour ton aide!

[US60]

De rien...je t'ai répondu à ton pb de maximum...

[US60]

Bonjour brave Yvonne de L.

[invitecda24591]

Oui j'ai vu, merci

[US60]

OK la remarque de 22h29 n'a rien à voir avec toi Loubouille

[invitecda24591]

Lol oui je me doutais bien