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Produit Scalaire : Cocyclicité



  1. #1
    Loubouille

    Question Produit Scalaire : Cocyclicité

    Bonjour, j'ai un exercice à faire sur la cocyclicité, mais le problème c'est que nous n'avons pas fait le cours sur ça, donc si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.

    1) A,B,C,D sont quatre points d'un cercle C tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en E.
    Justifier que EA.EB=EC.ED (vecteurs)

    2) Réciproquement soit deux droites (AB) et (CD) sécantes en E et telles que: EA.EB=EC.ED (vecteurs).
    Montrer que les points A,B,C et D sont cocycliques.
    Indication: Si le cercle circonscrit à ABC soupe (CD) en D', montrer que D'=D.

    Pour la question 1) j'ai mis:

    On a E un point quelconque, C un cercle de centre O et de rayon R et une droite sécante au cercle C en deux points A et B
    La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EA.EB (vecteurs)= OE²-R²

    De plus, on a une autre droite sécante au cercle C au deux points C et D
    La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EC.ED (vecteurs)= OE²-R²

    D'où : EA.EB=EC.ED (vecteurs)

    Ma réponse est-elle juste ?

    Mais pour la question 2) je n'ai aucune idée

    -----


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  3. #2
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Oui le 1) est correct c'est du cours

  4. #3
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    D'accord merci, et pour la question 2 je ne vois pas comment faire

  5. #4
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Faire ce qu'on te dit supp. que A,B,C,D vérifient les hypothèses
    donc EA.EB=EC.ED et on considère le cercle circonscrit à ABC qui existe car A;B;C non alignés ( les droites se coupent en E )
    Ce cercle va couper (CD) en D' faire un dessin alors on peut dire que
    EA.EB =EC.ED' pour ces 4 points C;A;B;D' sur le cercle ceci d'après 1)
    Donc EA.EB=EC.ED=EC.ED' en vecteurs
    etc.... l

  6. #5
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Ok, merci beaucoup pour ton aide

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    De rien...As-tu terminé ?

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  10. #7
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Euh presque, j'y regarde là

  11. #8
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Alors, j'ai mis:

    Si EA.EB=EC.ED, alors les points A,B,C,D sont cocycliques.
    De plus, on considère le cercle circonscrit au triangle ABC qui existe puisque les points A,B, et C ne sont pas alignés. Ce cercle coupe alors la droite passant par le point C en D'.
    D'après la question 1), on a EA.EB=EC.ED'
    Or, EA.EB=EC.ED=EA.ED'. Soit D=D'

    Les quatre points A,B,C, et D situés sur le cercle C sont donc cocycliques.

    La réponse est-elle correcte? Il y a-t-il assez de justifications?

  12. #9
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Pour justifier que D=D' :

    EC.ED=EC.ED'
    EC.ED=EC.(ED+DD')
    EC.DD'=0
    Or EC et DD' sont colinéaires donc non orthogonaux et EC n'est pas le vecteur nul.
    Donc DD'=0 et D'=D

  13. #10
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    NON !
    Au début on ne sait pas que A.B.C.D sont cocycliques donc ne pas l'écrire on sait par contre que EA.EB=EC.ED traçons le cercle circonscrit au triangle ABC qui coupe (CD) en D' , montrons que D=D' comme A ;B;C;D' SONT cocycliques le 1) dit que EA.EB=EC.ED' et Donc EA.EB=EC.ED=EC.ED' en vecteurs alors EC.(ED-ED')=0 vecteurs nul ou EC.D'D = 0
    C;D;D' et E sont alignés donc ce produit scalaire donne +ou- ECxDD'=0 là ce sont des longueurs ....comme EC est non nul c'est que DD'=0 et D=D' C'EST TOUT !!! Et tu énonces donc la réciproque c'est à dire ce que tu as démontré .

  14. #11
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    OK nous avons écrit en même temps !!

  15. #12
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Ok merci

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  17. #13
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    You're welcome..
    Un doute me ronge...Vous n'avez pas fait le cours sur la puissance d'un point par rapport à un cercle donc EA.EB=OE²-R² et EC.ED=OE²-R² ceci doit être démontré et pas simplement affirmé comme résultat déjà démontré .

  18. #14
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Non je n'ai pas le cour sur la cocyclicité, le prof' nous donne des DM sur des choses que l'on a pas vu en cours, pour nous faire gagner du temps...

  19. #15
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Donc il faut démontrer ces 2 égalités !! Tu n'es pas sensé les connaître à priori

  20. #16
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    non je ne les connaissais pas

  21. #17
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Donc au début du devoir il FAUT le démontrer je pensais que tu avais réussi à le démontrer

  22. #18
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    il faut que je démontre que EA.EB=EC.ED ?

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  24. #19
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    OUI c'est la première question , je croyais que tu l'avais trouvée ...

  25. #20
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Il est écrit 1) Justifier que EA.EB=EC.ED en vecteurs

  26. #21
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Pour la question 1) j'ai mis:

    On a E un point quelconque, C un cercle de centre O et de rayon R et une droite sécante au cercle C en deux points A et B
    La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EA.EB (vecteurs)= OE²-R²

    De plus, on a une autre droite sécante au cercle C au deux points C et D
    La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EC.ED (vecteurs)= OE²-R²

    D'où : EA.EB=EC.ED (vecteurs)

    C'est justifier non?

  27. #22
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    NON parce que tu n'as pas fait la leçon sur la puissance d'un point par rapport à un cercle , tu n'es pas censé savoir qu'on trouve toujours OE²-r² donc cette égalité est à prouver

  28. #23
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Euh si. En fait l'exercice que je vous ai donné est la suite d'un autre exercice où il fallait démontrer que MA.MB=OM²-R². J'ai donc utilisé la puissance d'un point par rapport à un cercle pour démontrer que EA.EB=EO²-R²

  29. #24
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Là c'est OK donc

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  31. #25
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Ok Encore merci pour ton aide!

  32. #26
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    De rien...je t'ai répondu à ton pb de maximum...

  33. #27
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Bonjour brave Yvonne de L.

  34. #28
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Oui j'ai vu, merci

  35. #29
    US60
    Invité

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    OK la remarque de 22h29 n'a rien à voir avec toi Loubouille

  36. #30
    Loubouille

    Re : Produit Scalaire : Cocyclicité

    Lol oui je me doutais bien

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