Bonjour,
L'énoncé est très simple mais je ne suis pas certain de la formule qu'il faut employer...
Est-ce correct d'écrire que : f(x) = sin x et n = 1/2 et que donc![]()
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Bonjour,
L'énoncé est très simple mais je ne suis pas certain de la formule qu'il faut employer...
Est-ce correct d'écrire que : f(x) = sin x et n = 1/2 et que donc![]()
Bonjour,
Très correct!
Bon courage!
Merci Plume d'Oeuf
Dernière question, pour l'exercice :![]()
Je vois pas du tout quelle formule appliquer
J'ai à ma disposition les formules de dérivées pour une fonction de type:
-
- sin (f(x))
- cos (f(x))
- tg (f(x))
- cotg (f(x))
Laquelle appliquer à cet exercice ?
Eh bien c'est une fonction composée de trois fonctions au lieu de deux.
1) Prenons la fonction f, "composée" d'une seule fonction u telle que:
f(x) = u(x)
f: x -----> u(x) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = u'(x)
C'est le cas de toutes les fonctions usuelles que tu connais et dont tu as des tables de dérivation.
2) Prenons maintenant la fonction f composée de deux fonctions u et v telle que:
f(x) = v(u(x))
f: x -----> u(x) ------> v(u(x)) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = v'(u(x)).u(x)
C'est le cas de ce que tu as fait précédemment. La fonction u était la fonction sinus et la fonction v était la fonction "racine" que tu as exprimée comme "puissance 1/2".
3) Prenons maintenant le cas d'une fonction f composée de trois fonctions u,v et w telle que:
f(x) = w(v(u(x))))
f: x -----> u(x) -----> v(u(x)) -----> w(v(u(x))) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u(x)
C'est le cas que tu veux traiter maintenant.
Ce dernier résultat se montre facilement et est applicable à toute fonction composée d'autant de "sous-fonctions" que tu veux.
Démonstration du 3).
Prenons une fonction f composée de trois fonctions u,v et w telle que:
f(x) = w(v(u(x)))
f: x -----> u(x) -----> v(u(x)) -----> w(v(u(x))) = f(x)
En posant v(u(x)) = z(x), on transforme la fonction f en:
f(x) = w(z(x))
f: x -----> z(x) -----> w(z(x))
f s'écrit donc comme composée des deux fonctions z et w, sa dérivée est:
f'(x) = w'(z(x)).z'(x)
Or z est elle aussi composée des deux fonctions u et v, sa dérivée s'écrit:
z'(x) = v'(u(x)).u'(x)
Au final la fonction f, composée des trois fonctions u, v et w admet bien comme dérivée:
f'(x) = w'(z(x)).z'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u'(x)
Ce raisonnement est généralisable à une fonction f composée d'autant de sous fonctions que tu veux; CQFD.
Merci pour toutes ces précisions, le langage est cependant trop technique pour moi qui ne suis pas un matheux.
Je comprends mieux les choses avec du concret![]()
D'ailleurs dès le départ, je ne vois pas, dans l'exercice donné, les 3 fonctions ni comment les "ordonner" !
je suis toujours au même point...
Héhé d'accord.
Dans mon explication,
u(x) = 2x
v(x) = sin(x)
w(x) = x3
Du coup:
v(u(x)) = sin(2x)
w(v(u(x))) = (sin(2x))3 = h(x)
Pour essayer de faire simple et de te donner quelques explications "avec les mains", pour dériver h il faut commencer par dériver la fonction la plus "générale" (ici w):
h(x) = w(v(u(x))) = (sin(2x))3
h'(x) = w'(v(u(x)))... = 3(sin(2x))2
Mais cela ne suffit pas; il faut maintenant multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses de w(...), soit:
h'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x))... = 3(sin(2x))2.cos(2x)...
Et cela ne suffit toujours pas, car on vient de dériver v(u(x)) et non pas v(x) — i.e sin(2x) et non pas sin(x). Il faut donc à nouveau multiplier le résultat par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses de v(...), soit:
h'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u'(x) = 3(sin(2x))2.cos(2x).2
Au final, on obtient:
h'(x) = 6(sin(2x))2.cos(2x)
En espérant avoir un peu éclairci les choses...
Bon courage!
En gros la formule à retenir est, u étant une fonction dérivable :
Une autre bien utile (nécessaire) :
Avec, il suffit juste d'appliquer la 1e formule (en prenant
), et la 2e qui y est imbriquée.
Pourriez-vous me guider de la même manière à travers l'exercice suivant afin que j'aie une autre exemple concret sur lequel me baser pour déchiffrer la méthode :
= ???
Je suis encore dans le noir, quelle frustration mes amis !
c'est encore une dérivée à 3 fonctions ?
Non, ce n'est plus une fonction composée, mais un produit de fonctions.
f est de la forme f(x) = u(x).v(x) où u et v sont des fonctions de x (ici u(x)=x et v(x)=sin(2x)).
Comme l'a dit nono212, on dérive un tel produit en appliquant la formule suivante:
f'(x) = u'(x).v(v) + u(x).v'(x)
Il va donc falloir calculer les dérivées respectives de u et v. Attention, v est elle même une fonction composée, s'ensuivent les règles de dérivation des fonctions composées...
Bon courage!
OK, je vais tenter de résoudre :
Soit h(x) = x.sin(2x)
Cela donne :
J'espère ne pas m'être gourré![]()
C'est bon c'est ça.
Par contre, évite d'utiliser (x)', sin(2x)', il me semble qu'on a pas le droit.
Je crois que tu peux en revanche utiliser dx/dx, d(sin(2x))/dx
merci pour la correction.
En fait, pour sin(2x) j'applique la formule du cours qui est : (sin(f(x)))'= cos (f(x)) . f'(x)
Donc je ne comprends pas ce qui ne serait pas juste, enfin bon si tu me dis que la réponse est bonne, c'est déjà ça !
Dans le même ordre d'idées, si j'ai h(x) = x.cos(3x) cela donne-t-il : (x)'.cos(3x) + x.(cos(3x))' = 1.cos(3x) + x.(-sin)3x.3
Pour la "simplification" j'hésite : = cos(3x) - 3x sin3x (?)