Exercice dérivées : le raisonnement est-il correct?

[Joe l indien]

Bonjour,

L'énoncé est très simple mais je ne suis pas certain de la formule qu'il faut employer...



Est-ce correct d'écrire que : f(x) = sin x et n = 1/2 et que donc
-----

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Très correct!

Bon courage!

[Joe l indien]

Merci Plume d'Oeuf

Dernière question, pour l'exercice :

Je vois pas du tout quelle formule appliquer

J'ai à ma disposition les formules de dérivées pour une fonction de type:
-
- sin (f(x))
- cos (f(x))
- tg (f(x))
- cotg (f(x))

Laquelle appliquer à cet exercice ?

[Plume d'Oeuf]

Eh bien c'est une fonction composée de trois fonctions au lieu de deux.

1) Prenons la fonction f, "composée" d'une seule fonction u telle que:
f(x) = u(x)
f: x -----> u(x) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = u'(x)
C'est le cas de toutes les fonctions usuelles que tu connais et dont tu as des tables de dérivation.


2) Prenons maintenant la fonction f composée de deux fonctions u et v telle que:
f(x) = v(u(x))
f: x -----> u(x) ------> v(u(x)) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = v'(u(x)).u(x)
C'est le cas de ce que tu as fait précédemment. La fonction u était la fonction sinus et la fonction v était la fonction "racine" que tu as exprimée comme "puissance 1/2".


3) Prenons maintenant le cas d'une fonction f composée de trois fonctions u,v et w telle que:
f(x) = w(v(u(x))))
f: x -----> u(x) -----> v(u(x)) -----> w(v(u(x))) = f(x)
Sa dérivée nous donne:
f'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u(x)
C'est le cas que tu veux traiter maintenant.

Ce dernier résultat se montre facilement et est applicable à toute fonction composée d'autant de "sous-fonctions" que tu veux.



Démonstration du 3).
Prenons une fonction f composée de trois fonctions u,v et w telle que:
f(x) = w(v(u(x)))
f: x -----> u(x) -----> v(u(x)) -----> w(v(u(x))) = f(x)

En posant v(u(x)) = z(x), on transforme la fonction f en:
f(x) = w(z(x))
f: x -----> z(x) -----> w(z(x))

f s'écrit donc comme composée des deux fonctions z et w, sa dérivée est:
f'(x) = w'(z(x)).z'(x)

Or z est elle aussi composée des deux fonctions u et v, sa dérivée s'écrit:
z'(x) = v'(u(x)).u'(x)

Au final la fonction f, composée des trois fonctions u, v et w admet bien comme dérivée:
f'(x) = w'(z(x)).z'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u'(x)

Ce raisonnement est généralisable à une fonction f composée d'autant de sous fonctions que tu veux; CQFD.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Joe l indien]

Merci pour toutes ces précisions, le langage est cependant trop technique pour moi qui ne suis pas un matheux.

Je comprends mieux les choses avec du concret

D'ailleurs dès le départ, je ne vois pas, dans l'exercice donné, les 3 fonctions ni comment les "ordonner" !

je suis toujours au même point...

[Plume d'Oeuf]

Héhé d'accord.

Dans mon explication,
u(x) = 2x
v(x) = sin(x)
w(x) = x³

Du coup:
v(u(x)) = sin(2x)
w(v(u(x))) = (sin(2x))³ = h(x)

Pour essayer de faire simple et de te donner quelques explications "avec les mains", pour dériver h il faut commencer par dériver la fonction la plus "générale" (ici w):

h(x) = w(v(u(x))) = (sin(2x))³
h'(x) = w'(v(u(x)))... = 3(sin(2x))²

Mais cela ne suffit pas; il faut maintenant multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses de w(...), soit:
h'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x))... = 3(sin(2x))².cos(2x)...

Et cela ne suffit toujours pas, car on vient de dériver v(u(x)) et non pas v(x) — i.e sin(2x) et non pas sin(x). Il faut donc à nouveau multiplier le résultat par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses de v(...), soit:
h'(x) = w'(v(u(x))).v'(u(x)).u'(x) = 3(sin(2x))².cos(2x).2


Au final, on obtient:
h'(x) = 6(sin(2x))².cos(2x)

En espérant avoir un peu éclairci les choses...

Bon courage!

[nono212]

En gros la formule à retenir est, u étant une fonction dérivable :

Une autre bien utile (nécessaire) :


Avec , il suffit juste d'appliquer la 1^e formule (en prenant ), et la 2^e qui y est imbriquée.

[Joe l indien]

Pourriez-vous me guider de la même manière à travers l'exercice suivant afin que j'aie une autre exemple concret sur lequel me baser pour déchiffrer la méthode :

= ???

Je suis encore dans le noir, quelle frustration mes amis !

[nono212]

Pourriez-vous me guider de la même manière à travers l'exercice suivant afin que j'aie une autre exemple concret sur lequel me baser pour déchiffrer la méthode :

= ???

Je suis encore dans le noir, quelle frustration mes amis !

Bah t'utilises la formule :

Et ça va tout seul.

[Joe l indien]

c'est encore une dérivée à 3 fonctions ?

[Plume d'Oeuf]

Non, ce n'est plus une fonction composée, mais un produit de fonctions.

f est de la forme f(x) = u(x).v(x) où u et v sont des fonctions de x (ici u(x)=x et v(x)=sin(2x)).

Comme l'a dit nono212, on dérive un tel produit en appliquant la formule suivante:

f'(x) = u'(x).v(v) + u(x).v'(x)

Il va donc falloir calculer les dérivées respectives de u et v. Attention, v est elle même une fonction composée, s'ensuivent les règles de dérivation des fonctions composées...

Bon courage!

[Joe l indien]

OK, je vais tenter de résoudre :

Soit h(x) = x.sin(2x)

Cela donne :

J'espère ne pas m'être gourré

[nono212]

C'est bon c'est ça.
Par contre, évite d'utiliser (x)', sin(2x)', il me semble qu'on a pas le droit.
Je crois que tu peux en revanche utiliser dx/dx, d(sin(2x))/dx

[Joe l indien]

merci pour la correction.
En fait, pour sin(2x) j'applique la formule du cours qui est : (sin(f(x)))'= cos (f(x)) . f'(x)

Donc je ne comprends pas ce qui ne serait pas juste, enfin bon si tu me dis que la réponse est bonne, c'est déjà ça !

[Joe l indien]

Dans le même ordre d'idées, si j'ai h(x) = x.cos(3x) cela donne-t-il : (x)'.cos(3x) + x.(cos(3x))' = 1.cos(3x) + x.(-sin)3x.3

Pour la "simplification" j'hésite : = cos(3x) - 3x sin3x (?)

[Plume d'Oeuf]

Bonjour!

Oui c'est juste. Une remarque cependant:

[...]
1.cos(3x) + x.(-sin)3x.3
[...]

On n'écrit pas (-sin)3x mais (-sin(3x)); le sinus et son angle ne sont pas dissociables. En effet, l'expression "sin" n'a de sens que si elle s'applique à un angle!

Bon courage.