Optimisation

[invite8a609d60]

Bonsoir,

Je vais vous noter le problème en entier, pour plus de clarté.
"On considère un terrain rectangulaire de dimension L et l et d'aire A =900 m². On veut construire une clôture autour de ce terrain. Quelle sont les dimensions L et l qui rendent minimal le coût de la construction de la clôture ? "

Alors, personnellement, j'ai tout d'abord pensé à faire un carré, ce qui pour moi aurai été la solution, mais, on ne peut pas ...
Alors j'ai posé
Aire = L*l = 900 et
Périmètre = 2(L+l )

Mais je n'arrive pas à trouver un rapport pour ces deux équation ...
Merci de votre aide !
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[invitecf23c94c]

Quel est ton niveau d'étude ?

Exprime L en fonction de l dans la 1ere
remplace dans la seconde
calcule la dérivée
Puis tableau de variation

[invite8a609d60]

Okay, j'y avais songé.
Mais je trouve une dérivée de :

f'(x) = (6l(carré) - 1800)/l(carré)
Avec f(x) longueur du périmètre.
f'(0) = (racine carré de 300 )

Me suis je trompé jusque là ?

[Rhodes77]

Bonjour,

Ce "6" est étrange...
A=L.l donc l=A/L
Injectons dans la formule du périmètre : p=2(L+A/L) soit dans vos notations f(x)=2(x+A/x) où A=900.
Il suffit ensuite de dériver p par rapport à L et de chercher la racine de la dérivée (càd la valeur de L pour laquelle la dérivée s'annule).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a609d60]

J'obtient une dérivée sous forme de :

f(x)' = 2-((4xA)/xcarré)

J'ai un doute ...

[Rhodes77]

Arf c'est presque ça.
Le terme en 2x donne 2 quand on le dérive.
Le terme en 2A/x donne -2A/(x²) quand on le dérive.
La dérivée d'une somme, c'est la somme des dérivées, si bien que :
f'(x)=2-2A/(x²).

On continue

[invite8a609d60]

Donc on obtient pour
f'(x) = 0 Sur le domaine de définition de ]0 ; +OO[

x1 = 30 (mais on a un carré alors ... )

[Rhodes77]

Eh oui, le quadrilatère d'aire fixée qui minimise son périmètre, c'est le carré.

[invite8a609d60]

Mais on n'est sencé considérer un terrain rectangulaire.
Disont qu'il faut joué avec les mots alors et dire qu'un carré est un rectangle particulier ...
Merci en tout cas, bonne journée !

[Rhodes77]

Mais on n'est sencé considérer un terrain rectangulaire.
Disont qu'il faut joué avec les mots alors et dire qu'un carré est un rectangle particulier ...
Merci en tout cas, bonne journée !

C'est précisément ça oui.
Bonne continuation !