Dm Fonction du Second degré. 1ère S

[invitec8d113ca]

Bonjour bonjour!
voilà, comme tout les 15 jours j'ai un petit DM et je vous avoue que pour celui-ci j'aurais besoins d'aide car je n'arrive pas à le démarrer.
Voici l'énoncé:
f est la fonction définie par f(x)= -5x+1/2x²+x+1.( Normalement, il y a une représentation graphique qui est jointe mais je ne peux pas l'afficher.)

a. Démontrer que cette fonction est définie sur .
b. i)Résoudre l'inéquation f(x)<=4
En déduire que pour tout x réel, f(x)<=4.
ii)Montrer que pour tout x réel, f(x)>=-1.
c. i)4 est-il un maximum pour la fonction f sur ? Justifier.
ii)Déterminer le minimum sur de la fonction f.
d. Détermination du maximum:
i)m est un réel donné. Démonter que "f(x)m pour tout réel x" équivaut à:
2mx2+(m+5)x+m-10 pour tout x reel.
ii) Justifier que cette condition est vérifiée pour toutes les valeurs de m de l'intervalle
[25/7 ; +[.
iii)En déduire le maximum de f.

Voici ce que j'ai déjà fait:
1.Je sais que l'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est calculable.
Le numérateur ne posant pas de problème de singularité, voyons le dénominateur, s'il existe un x pour lequel 2x² + x + 1 = 0 (la seule singularité à considerer)

Mais, on trouve que le déterminant de cette parabole est: -7. Donc, la parabole ne coupe jamais l'axe d'abscisses (n'a pas de racines réelles).

Donc, f(x) est bien définie sur tout R.

2. b. i)Résoudre l'inéquation f(x)<=4

-5x+1 / 2x²+x+1 <=4

-5x + 1 <= 4(2x²+x+1)

***On est certains que l'inéquation ne change pas de signe car 2x²+x+1 est positive pour tout x ***

-5x + 1 <= 8x² + 4x + 4

0 <= 8x² + 9x + 3

8x² + 9x + 3 >= 0

Effectivement, si l'on calcule le determinant de cette équation, on trouve que le déterminant = -15, et donc, elle n'a pas de racines réelles, et cela veut dire que tout x est solution de l'inéquation.

ii)Montrer que pour tout x réel, f(x)>=-1.
-5x2+1 / 2x2+x+1>= -1
-5x+1>= -1(2x2+x+1)
-5x+1>= -2x2-x-1
2x2-4x+2>=0

J'ai également calculer le déterminant
déerminant=42-4*2*2=0
Si le déterminant est égal à 0, cela veut dire que la parabole 2x²-4x+2 (ouverte vers le haut) est toujours soit positive soit égale à 0 pour tout x. Comme 2x²-4x+2 >=0 pour tout x, l'expression de depart f(x)>=-1 est aussi valide pour tout x.


Voilà, c'est tout ce que j'ai fait. Si quelqu'un pouvait me confirmer ces réponses et m'aider pour la suite des questions se serait vraiment gentil.
Merci d'avance pour toutes vos réponses.
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Le raisonnement de la question 1 est ok (je n'ai pas vérifié les calculs).

Effectivement, si l'on calcule le déterminant de cette équation, on trouve que le déterminant = -15, et donc, elle n'a pas de racines réelles, et cela veut dire que tout x est solution de l'inéquation.

Tu viens de démontrer que 8x² + 9x + 3 n'a pas de racine réelle, pas que ce trinôme est positif... Pourquoi ne serait-il pas à valeurs négatives?

Une remarque aussi: on parle plutôt de discriminant que de déterminant dans le cas des trinômes.

Si le déterminant est égal à 0, cela veut dire que la parabole 2x²-4x+2 (ouverte vers le haut) est toujours soit positive soit égale à 0 pour tout x.

Même réflexion: comment peux tu affirmer que ce trinôme est positif ou nul plutôt que négatif ou nul?


c.i) Tu as montré à la question b.i) que l'équation f(x) = 4 n'admettait pas de solution. Qu'est ce que cela implique?

c.ii) De la même manière sers toi de ta réponse à la question b.ii).

m est un réel donné. Démonter que "f(x)m pour tout réel x" équivaut à:
2mx2+(m+5)x+m-10 pour tout x reel.

d.i) L'énoncé que tu nous donne est mal formulé, peux tu le redonner?

Bon courage!

[invitec8d113ca]

Bonsoir,
Tout d'abord merci beaucoup de m'aider car j'avais l'impression de ne plus avancer!^^

>>>>Tu viens de démontrer que 8x² + 9x + 3 n'a pas de racine réelle, pas que ce trinôme est positif... Pourquoi ne serait-il pas à valeurs négatives?

Je pense que le trinôme ne peut pas être négatif, car d'après une propriété de mon cours, si le discriminant (et pas "déterminant", dsl je m'étais trompée ^^) est plus petit que 0 alors f(x) est pour tout réel x du signe de a or ici, a=8 (de la fonction polinôme ax²+bx+c)


>>>>Même réflexion: comment peux tu affirmer que ce trinôme est positif ou nul plutôt que négatif ou nul?

Pareil, d'après une propriété de mon cours si le discriminant est égale à 0, f(x) est pour tout réel x du signe de a et s'annule pour x₀ or ici a=2 donc il ne peut être négatif.


>>>>c.i) Tu as montré à la question b.i) que l'équation f(x) = 4 n'admettait pas de solution. Qu'est ce que cela implique?

Heu...cela implique qu' il ne peut y avoir de solution supérieur ou égale à 4?

>>>>c.ii) De la même manière sers toi de ta réponse à la question b.ii).

et là, il n'y aurait pas de solution inférieur ou égale à -1 (mais je ne vois pas comment rédiger mieux ces réponses du c) ).


>>>>d.i) L'énoncé que tu nous donne est mal formulé, peux tu le redonner?

Effectivement , mon énoncé est incompréhensible, dsl^^
Alors je reprends:
d. Détermination du maximum:
i) m est un réel donné. Démonter que "f(x)<=m pour tout réel x" équivaut à:
2mx²+ (m+5)x +m-1 >= 0 pour tout x reel.

ii) Justifier que cette condition est vérifiée pour toutes les valeurs de m de l'intervalle [25/7 ; +oo[.

iii)En déduire le maximum de f.

[invitee4ef379f]

Je pense que le trinôme ne peut pas être négatif, car d'après une propriété de mon cours, si le discriminant (et pas "déterminant", dsl je m'étais trompée ^^) est plus petit que 0 alors f(x) est pour tout réel x du signe de a or ici, a=8 (de la fonction polinôme ax²+bx+c)

En effet, il s'agit bien de cela. Cependant il faut prendre la peine de bien l'écrire, sinon le fait d'affirmer que le trinôme est positif n'est pas justifié.

>>>>c.i) Tu as montré à la question b.i) que l'équation f(x) = 4 n'admettait pas de solution. Qu'est ce que cela implique?

Heu...cela implique qu' il ne peut y avoir de solution supérieur ou égale à 4?

Non, ce n'est pas ça. Dans la question b.i) on te demandait de montrer que f(x) ≤ 4. Ce que tu fais ; or pour y arriver tu montres à un moment que f(x)=4 n'a pas de solution.

Tu as donc f(x)≤4 et f(x) est toujours différent de 4, qu'est ce que cela implique?


La question suivante suit un raisonnement similaire.

Effectivement , mon énoncé est incompréhensible, dsl^^
Alors je reprends:
d. Détermination du maximum:
i) m est un réel donné. Démonter que "f(x)<=m pour tout réel x" équivaut à:
2mx²+ (m+5)x +m-1 >= 0 pour tout x reel.

ii) Justifier que cette condition est vérifiée pour toutes les valeurs de m de l'intervalle [25/7 ; +oo[.

iii)En déduire le maximum de f.

d.i) Il s'agit juste d'écrire f(x) ≤ m et de développer les calculs, rien de bien méchant.

d.ii) Ensuite il faut trouver le signe du trinôme: il est "le même celui de a sauf entre les racines", pour un trinôme du type ax²+bx+c avec a, b, c réels ; a différent de 0.

d.iii) Cela devient trivial avec la réponse précédente.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8d113ca]

Bonjour,
Merci cette aide précieuse, car j'ai réussi à faire jusqu'à la d.i) où effectivement le calcul était très simple.
Par contre je n'ai vraiment rien compris pour la d.ii) et iii).