Barycentre avec inconnue

[invite3342f9e7]

Bonjour,

Voila, j'ai un problème pour résoudre une question d'un devoir maison de mathématiques sur le sujet des "barycentres" que mon professeur nous a proposé avant les vacances.

Voici le sujet:

Problème:
Soient A, B et C trois points non alignés et m un réel quelconque. Soit G le barycentre (si il existe) des point pondérés du système (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m).

Les premières questions sont relativement faciles, mais je bloque à la question suivante:

- Soit I le milieu de [AB] et J le point tel que vecteurBJ = (1/3) vecteurBC.
Démontrer que pour tout m différent de 3 (la valeur pour laquelle G n'existe pas), G appartient à (IJ).
Quelle est l'abscisse de G dans le repère (I, vecteurIJ).

Avec le logiciel de géométrie GéoGebra, j'ai réussi à voir que les barycentres G en fonction de m appartenaient bien tous à la droite (IJ) mais je n'ai aucune idée de comment démontrer cela.

En espérant que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance,
-----

[hhh86]

Soit G le barycentre des point pondérés du système (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m).
G existe si et seulement si :
m+2-m+1-m≠0
<=>-m+3≠0
<=>m≠3

On a donc mGA+(2-m)GB+(1-m)GC=0
<=>mGI+mIA+(2-m)GI+(2-m)IB+(1-m)GI+(1-m)IC=0
<=>mGI+mIA+(2-m)GI+(2-2m+m)IB+(1-m)GI+(1-m)IC=0
Or I est le milieu de [AB] donc IA+IB=0 d'où :
(3-m)GI+(2-2m)IB+(1-m)IC=0
<=>(3-m)GI+(2-2m)IJ+(2-2m)JB+(1-m)IJ+(1-m)JC=0
<=>(3-m)GI+(3-3m)IJ+(2-2m)JB+(1-m)JC=0
<=>(3-m)GI+(3-3m)IJ+(2-2m)JB+(1-m)JB+(1-m)BC=0
<=>(3-m)GI+(3-3m)IJ+(3-3m)JB+(1-m)BC=0
Or BJ=(1/3)BC d'où :
(3-m)GI+(3-3m)IJ+(3-3m)(-1/3)BC+(1-m)BC=0
<=>(3-m)GI+(3-3m)IJ=0
<=>(3-m)GI+(3-3m)IG+(3-3m)GJ=0
<=>2mGI+(3-3m)GJ=0
G est donc le barycentre de (I;2m);(J;3-3m)

On a donc (3-m)GI+(3-3m)IJ=0
<=>(3-m)IG=(3-3m)IJ
<=>IG=[(3-3m)/(3-m)]IJ

L'abscisse de G est donc (3-3m)/(3-m)

[invite3342f9e7]

Merci beaucoup pour ta réponse,
J'avais pas pensé à utiliser le théorème de Chasles en partant de l'égalité initiale du barycentre de 3 points: mGA+(2-m)GB+(1-m)GC=0.

En tout cas, un grand merci a toi pour ta réponse qui m'éclaire presque l'ensemble de mon DM

J'ai juste encore un autre petit problème, je ne comprend pas le sens de la question suivante:

- Quel est le "lieu" des points G lorsque m décrit R ?

Merci d'avance,

[hhh86]

en fait il faut que tu montres que l'ensemble des points G est la droite (IJ) privé du point d'abscisse 3.

Tu as déjà montré que si G est le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m), alors G appartient à (IJ) privé du point d'abscisse 3.
Il te reste plus qu'à montrer que tous les points de (IJ) privé du point d'abscisse 3 sont des barycentres de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m).

J'ai une méthode assez simple qui utilise des connaissances de terminale S, si tu es en première, j'utiliserais une autre méthode.

On sait que IG=[(3-3m)/(3-m)]IJ
Montrons que le point d'abscisse 3 n'est pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) :
Résolvons l'équation (3-3m)/(3-m)=3 dans IR privé de 3 :
<=>(3-3m)=3(3-m)
<=>3-3m=9-3m
<=>3=9
L'équation n'a donc pas de solution dans IR privé de 3
Le point d'abscisse 3 n'est donc pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m)

Montrons donc que pour tout α appartenant à IR privé de 3, il existe m appartenant à IR privé de 3 tel que α=[(3-3m)/(3-m)]

Soit f : x |-->(3-3x)/(3-x)
f est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
Pour tout x appartenant à IR\{3}, on a donc f'(x)=-6/(3-x)²
Pour tout x appartenant à IR\{3}, (3-x)²>0 donc f'(x)<0
f est donc strictement décroissante sur ]-inf;3[
f est donc strictement décroissante sur ]3;+inf[

f est dérivable donc continue sur ]-inf;3[
f est donc strictement décroissante sur ]-inf;3[
lim(x-->-inf)(f(x))=3
lim(x-->3-)(f(x))=-inf
Donc pour tout α appartenant à ]-inf;3[, il existe un unique réel x appartenant à ]-inf;3[ tel que α=[(3-3x)/(3-x)] d'après le théorème de la bijection

f est dérivable donc continue sur ]3;+inf[
f est donc strictement décroissante sur ]3;+inf[
lim(x-->+inf)(f(x))=3
lim(x-->3+)(f(x))=+inf
Donc pour tout α appartenant à ]3;+inf[, il existe un unique réel x appartenant à ]3;+inf[ tel que α=[(3-3x)/(3-x)] d'après le théorème de la bijection

Par conséquent pour tout α appartenant à IR\{3}, il existe un unique réel m appartenant à IR\{3} tel que α=[(3-3m)/(3-m)]

Tout point de la droite privé du point d'abscisse 3 est donc un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m). CQFD

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3342f9e7]

Tout d'abord, merci pour ta réponse,

f est dérivable donc continue sur ]-inf;3[
f est donc strictement décroissante sur ]-inf;3[
lim(x-->-inf)(f(x))=3
lim(x-->3-)(f(x))=-inf
Donc pour tout α appartenant à ]-inf;3[, il existe un unique réel x appartenant à ]-inf;3[ tel que α=[(3-3x)/(3-x)] d'après le théorème de la bijection

f est dérivable donc continue sur ]3;+inf[
f est donc strictement décroissante sur ]3;+inf[
lim(x-->+inf)(f(x))=3
lim(x-->3+)(f(x))=+inf
Donc pour tout α appartenant à ]3;+inf[, il existe un unique réel x appartenant à ]3;+inf[ tel que α=[(3-3x)/(3-x)] d'après le théorème de la bijection

Par conséquent pour tout α appartenant à IR\{3}, il existe un unique réel m appartenant à IR\{3} tel que α=[(3-3m)/(3-m)]

Tout point de la droite privé du point d'abscisse 3 est donc un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m). CQFD

Je ne comprend pas la partie citée ci-dessus sans doute parce que je suis actuellement en première S. Peut tu m'expliquer ce qu'est ce que théorème de la bijection ou me dire comment résoudre mon problème seulement avec les connaissances acquises jusqu'en première S.

Merci d'avance,

[hhh86]

Tu me diras pas besoin du thérème de la bijection
Montrons donc que pour tout α appartenant à IR privé de 3, il existe m appartenant à IR privé de 3 tel que α=[(3-3m)/(3-m)]
α=[(3-3m)/(3-m)]
<=>α(3-m)=(3-3m)
<=>3α-αm=3-3m
<=>3α-3=-3m+αm
<=>3α-3=m(α-3)
<=>(3α-3)/(α-3)=m, ce qui prouve l'existence de m

Pour compléter, il suffit de reprendre le raisonnement d'avant

[invite2b14cd41]

Une application (une fonction) de X dans Y est dite bijective si elle est à la fois injonctive et surjective...
C.a.d; a chaque élément de l'ensemble X tu associes un seul autre élément de Y , et à chaque élément de Y un seul de X.

[hhh86]

Je remets en forme ma réponse pour que tu comprennes.
Soit G le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m appartenant à IR
D'après les questions précédentes, G appartient à (IJ)

Montrons que le point d'abscisse 3 n'est pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) :
On sait que IG=[(3-3m)/(3-m)]IJ
Résolvons l'équation (3-3m)/(3-m)=3 dans IR privé de 3 :
<=>(3-3m)=3(3-m)
<=>3-3m=9-3m
<=>3=9
L'équation n'a donc pas de solution dans IR privé de 3
Le point d'abscisse 3 n'est donc pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m)

G appartient donc à (IJ) privé du point d'abscisse 3 dans le repère (I, IJ)


Montrons alors que l'ensemble des points de (IJ) privé du point d'abscisse 3 est un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m appartenant à IR.
Il suffit de montrer que pour tout M appartenant à (IJ) privé du point d'abscisse 3, il existe un réel m tel que IM=[(3-3m)/(3-m)]IJ

Il faut donc montrer que pour tout réel x≠3, il existe m appartenant à IR tel que x=(3-3m)/(3-m)
<=>x(3-m)=(3-3m)
<=>3α-αm=3-3m
<=>3x-3=-3m+xm
<=>3x-3=m(x-3)
<=>(3x-3)/(x-3)=m, ce qui prouve l'existence de m puisque x est différent de 3

Si M d'abscisse x appartient à (IJ) privé du point d'abscisse 3, M est le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m=(3x-3)/(x-3)

Le lieu de point cherché est donc (IJ) privé du point d'abscisse 3

[hhh86]

Une application (une fonction) de X dans Y est dite bijective si elle est à la fois injonctive et surjective...
C.a.d; a chaque élément de l'ensemble X tu associes un seul autre élément de Y , et à chaque élément de Y un seul de X.

Oui en effet c'est la définition d'une bijection. Néanmoins cela ne va pas lui servir à grand chose. De plus ici, c'était plus le théorème des valeurs intermédiaires que le théorème de la bijection qui était utile (on se moque de l'unicité, on s'intéressait à l'existence)
Or, le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique que lorsque la fonction est continue sur un intervalle et il n'a aucune notion de continuité

[invite3342f9e7]

Merci à vous deux pour vos réponses,

Je remets en forme ma réponse pour que tu comprennes.
Soit G le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m appartenant à IR
D'après les questions précédentes, G appartient à (IJ)

Montrons que le point d'abscisse 3 n'est pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) :
On sait que IG=[(3-3m)/(3-m)]IJ
Résolvons l'équation (3-3m)/(3-m)=3 dans IR privé de 3 :
<=>(3-3m)=3(3-m)
<=>3-3m=9-3m
<=>3=9
L'équation n'a donc pas de solution dans IR privé de 3
Le point d'abscisse 3 n'est donc pas un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m)

G appartient donc à (IJ) privé du point d'abscisse 3 dans le repère (I, IJ)


Montrons alors que l'ensemble des points de (IJ) privé du point d'abscisse 3 est un barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m appartenant à IR.
Il suffit de montrer que pour tout M appartenant à (IJ) privé du point d'abscisse 3, il existe un réel m tel que IM=[(3-3m)/(3-m)]IJ

Il faut donc montrer que pour tout réel x≠3, il existe m appartenant à IR tel que x=(3-3m)/(3-m)
<=>x(3-m)=(3-3m)
<=>3α-αm=3-3m
<=>3x-3=-3m+xm
<=>3x-3=m(x-3)
<=>(3x-3)/(x-3)=m, ce qui prouve l'existence de m puisque x est différent de 3

Si M d'abscisse x appartient à (IJ) privé du point d'abscisse 3, M est le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m=(3x-3)/(x-3)

Le lieu de point cherché est donc (IJ) privé du point d'abscisse 3

J'avais formulé la réponse de mon côté et j'en été arrivé à peut près au même résultat que toi.

Juste pour finir, dernière petite question:
Est ce que demander: " Existe t'il pour tout point P de (IJ) une valeur de m telle que G et P soient confondues" revient à demander "Quel est le lieu des points G lorsque m décrit R". Je vois que cela ne revient pas exactement au même mais j'ai du mal à discerner la différence et donc à comprendre le sens de ses deux questions séparément...

Merci de m'éclaircir !
Et merci de ta patience hhh86

[hhh86]

Merci à vous deux pour vos réponses,


J'avais formulé la réponse de mon côté et j'en été arrivé à peut près au même résultat que toi.

Juste pour finir, dernière petite question:
Est ce que demander: " Existe t'il pour tout point P de (IJ) une valeur de m telle que G et P soient confondues" revient à demander "Quel est le lieu des points G lorsque m décrit R". Je vois que cela ne revient pas exactement au même mais j'ai du mal à discerner la différence et donc à comprendre le sens de ses deux questions séparément...

Merci de m'éclaircir !
Et merci de ta patience hhh86

Dans cette question on va exclure le point d'abscisse 3, la compréhension sera plus facile.

En effet ce n'est pas la même chose.
" Existe t'il pour tout point P de (IJ) une valeur de m telle que G et P soient confondues"
Cela signifie qu'il faut montrer que si P appartient à la droite (IJ), alors il existe une valeur de m tel que P soit le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m)

"Quel est le lieu des points G lorsque m décrit R"
Cette question suggère de montrer tout d'abord que si G est le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m), alors G appartient à (IJ) et si G appartient à (IJ), alors G est le barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m).

C'est plus facile à voir en therme d'ensemble.
Soit A l'ensemble des points G barycentre de (A , m), (B , 2-m), (C, 1-m) avec m réel
Soit B la droite (IJ) privé du point d'abscisse 3.

Pour la première question" Existe t'il pour tout point P de (IJ) une valeur de m telle que G et P soient confondues", il faut montrer que B est inclus dans A. C'est à dire qu'il faut montrer que si P appartient à B, alors P appartient à A

Pöur la seconde question (lieu de point), il faut montrer que A=B. Une astuce est de montrer que A est inclus dans B et B est inclus dans A. La double inclusion est équivalente à l'égalité.
C'est à dire qu'il faut montrer que si G appartient à A, alors il appartient à B et si G appartient à B, alors il appartient à A

Cordialement

[invite3342f9e7]

Pour la première question" Existe t'il pour tout point P de (IJ) une valeur de m telle que G et P soient confondues", il faut montrer que B est inclus dans A. C'est à dire qu'il faut montrer que si P appartient à B, alors P appartient à A

Pöur la seconde question (lieu de point), il faut montrer que A=B. Une astuce est de montrer que A est inclus dans B et B est inclus dans A. La double inclusion est équivalente à l'égalité.
C'est à dire qu'il faut montrer que si G appartient à A, alors il appartient à B et si G appartient à B, alors il appartient à A
Cordialement

Désolé mais je ne comprend pas comment peut-on démontrer que B est inclus dans A et que A est inclus dans B dans le cadre de mon devoir. De plus, si A est inclus dans B, B n'est il pas forcément inclus dans A ?

[hhh86]

"Désolé mais je ne comprend pas comment peut-on démontrer que B est inclus dans A et que A est inclus dans B dans le cadre de mon devoir."
C'est pourtant ce qu'on a fait plus haut, je ne sais pas si tu as compris alors

"De plus, si A est inclus dans B, B n'est il pas forcément inclus dans A ?"
Non absolument pas.
Je vais te donner un (plusieurs) contre(s)-exemple(s) pour t'éclairer :

L'ensemble IN des entiers naturels est inclus dans l'ensemble IR des réels puisque tous les éléments de IN appartiennent à IR mais l'ensemble des réels n'est pas inclus dans l'ensemble des entiers naturels puisqu'il existe des réels qui ne sont pas des entiers naturels (-1;3/7;√2;e;pi;cos(1) par exemple)

On peut aussi prendre un exemple géométrique :
Un cercle est inclus dans un disque mais un disque n'est pas inclus dans un cercle

[invite3342f9e7]

Merci de toutes tes réponses qui m'ont permis de faire mon DM.
Je les rendu aujourd'hui !

[KeM]

Meme si le sujet est traité, il y avait une autre technique qui reste tout de même interressante (surtout si ta un DS dessus prochainement) par associativité :

I isobarycentre de (A, m) et (B, m)
vBJ = (1/3)vBC d'où J barycentre de (C, 1) et (B, 3 - 1 = 2) que l'on peut écrire aussi (C, -m) et (B, -2m) => (on multiplie les coeff par -m)

On a G barycentre de (A, m) (B, 2-m) (C, 1-m).
Par associativité on peux donc décomposer tout ça :

G barycentre de (A, m) (B, 2) [ (B, -m) que l'on decompose encore en : (B, m) (B, -2m) ] (C, 1) (C, -m)

Et là on rassemble grace aux expressions des barycentres ci-dessus :
G barycentre de (I, 2m) (J, 3) (J, -3m) => G barycentre de (I, 2m) et (J, 3-3m) d'où G appartient à la droite (IJ) et on en déduit les coordonnées comme la si bien fait hhh86.