Extremum d'un polynôme du second degré

[invite3645d0ad]

bonjours j'ai a faire un devoir maison en mathématiques mais je ne sais pas comment faire, auriez-vous l'amabilité de m'aider merci d'avance.
je precise α= alpha et β= beta
j'ai f(x)= a(x-α)²+β
En etudiant le signe de f(x)-β suivant les valeurs de a, je dois demontrer que f admet un extremum égal à β....
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[Elie520]

As-tu étudié le signe de f(x)- ?

[invite3645d0ad]

non comment dois-je faire?

[Elie520]

f(x)-=a*(x-)².
Donc sers-toi des propiétés de (x-)² pour trouver le signe de f(x)- en fonction de a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3645d0ad]

oui je suis d'accord pour f(x)-=a*(x-α)2 mais je ne sais pas comment me servir des propriétés de (x-α)² pr trouver.

[Elie520]

Je t'aide : Alors ?

[invite3645d0ad]

je dois resoudre si a<0 et si a>0?
je ne comprends vraiment rien je suis desolé ><'

[Elie520]

non c bien, tu t'es posé la bonne question ! Donc supposons sinon ta fonction présente peu d'intérêt.
On a donc deux cas :
Si , alors et vaut zéro en
Si , alors et vaut zéro en

Dis-moi si tu n'arrives pas a finir seul.

[invite3645d0ad]

pourquoi superieur ou egal a 0 si a doit etre un reel non nul (j'ai oublié de te le dire excuse moi) je ne peux pas mettre seulement superieur ou inferieur a 0? sinon je ne comprends pas : et vaut zero en x=alpha
Et en quoi cela me prouve que f admet un extremum egal a beta?

[hhh86]

Tu sais faire un tableau de signe ?

[invite3645d0ad]

euuuuuuh oui un peu. Je sais pas tres bien j'aimerais comprendre pourrais tu m'expliquer avc un tableau peut etre que je comprendrais enfin! Merci en tout les cas

[Elie520]

Eh bien prenons le cas . Alors Donc
Or, Donc pour , f admet comme minimum.

Applique le meme raisonnement pour .

[hhh86]

En fait Elie a déjà fait le travail. Son travail est équivalent à un tableau de signe mais essaye de relire ce qu'il a fait et de comprendre.

[invite3645d0ad]

Que signifie le A a l'envers s'il te plait?
J'essaie de comprendre ton resonnement

[Elie520]

signifie "pour tout x dans l'ensemble des réels".

[hhh86]

Que signifie le A a l'envers s'il te plait?
J'essaie de comprendre ton resonnement

En fait cela veut dire pour tout

Par exemple, pour tout x appartenant à IR, x²+1>0 (on écrira ça avec le fameux A à l'envers)

[invite3645d0ad]

Ok dnc je recapitule
si a>0
a(x-α)²= f(x)-β
et f(x)-β>0 ?

[hhh86]

Ok dnc je recapitule
si a>0
a(x-α)²= f(x)-β
et f(x)-β>0 ?

Oui mais il faut aussi que tu précises que si x=alpha, f(x)-β=0

[Elie520]

Ok dnc je recapitule
si a>0
a(x-α)²= f(x)-β
et f(x)-β>0 ?

En fait, tu as presque bon, mais pas tout a fait, c'est plutôt comme ca:

a(x-α)²= f(x)-β
donc si a>0

D'où
Mais ceci ne suffit pas, il faut préciser qu'il existe une valeur pour laquelle , parce que sinon, on pourrait dire de nimporte quel réel inférieur à qu'il est extremum de f, ce qui n'est pas le cas. Tu as compris ?

[Elie520]

C'est plutôt "" désolé !! et ""

[invite3645d0ad]

Bon je crois que je vous fait perdre votre temps je m'embrouille encore plus et ne comprends rien. Laissez tomber merci quand meme de m'avoir consacré du temps.

[hhh86]

Bon je crois que je vous fait perdre votre temps je m'embrouille encore plus et ne comprends rien. Laissez tomber merci quand meme de m'avoir consacré du temps.

Tu n'as pas de cours dessus ?

[invite3645d0ad]

Non on commence a peine le chapitre

[hhh86]

tu ne sais donc pas ce qu'est un maximum ou un minimum global ?

[invite3645d0ad]

Je connais un peu les extremums. nombrre le + petit ou le + grd mais c'est tout

[hhh86]

en théorie, c'est suffisant pour faire ton exercice, essaye de relire les posts précédents et compare les avec tes connaissances. Moi je dois y aller, je suis pris par le temps

Au revoir

[invite3645d0ad]

Je te remercie bonne soirée

[Elie520]

Tu as en effet tous les éléments nécessaires maintenant, donc si tu veux à tout prix comprendre, tente de relire plusieurs fois tout ce qu'on t'a dit, et si tu as encore des questions, on y répondra même si ce n'est pas directement.
Autrement passe à autre chose Et tu comprendras forcément un jour
Je résume tout si tu veux.
donc (1)
Or un nombre au carré est toujours positif ! Donc . Par conséquent, est du signe de a. Donc aussi d'après (1).

1^er cas : a>0
Alors
Donc est un minorant de . Or donc il existe une valeur de pour laquelle . Donc est le minimum de

2^nd cas : a<0
Alors
Donc est un majorant de . Or donc il existe une valeur de pour laquelle . Donc est le Maximum de

Le mot extremum désignant à la fois les mots minimum et Maximum, dans tous les cas, est un Extremum de , ce qui achève la démonstration.

Ouf ! J'espère que tu as ainsi compris et bonne chance.
Maintenant, je vais me coucher moi

Cordialement.
Elie520

[invite3645d0ad]

Merci,j'ai tout relu et ai enfin tout compris!
Merci pour ta precieuse aide!

[Elie520]

C'est cool alors de rien !