[TS - Probabilités]

[inviteb90b824a]

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec un exo de probabilités.. le voici :

On a lancé dix fois une pièce truquée qui donne « Face » avec une probabilité p. On a obtenu six fois « Face ».
1. Trouvez la probabilité conditionnelle que les trois premiers tirages soient F, P, F.
2. Même question avec P, F, P.

J'ai pensé à la loi binomiale, mais je n'ai pas la valeur du paramètre p.. et il semble y avoir un certain ordre à suivre (F → P → F), alors que je ne suis pas sûre que la loi binomiale tient compte de l'ordre..

Merci d'avance pour toute aide
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[danyvio]

Les tirages sont indépendants. A mon sens le raisonnement est simple :
D'après l'énoncé, on admet que la pièce a une proba p=0.6 pour face, donc 0.4 pour pile.

Donc pour tirer F P F , la proba globale est .6 x .4 x .6 = .144 idem pour tout autre arrangement de FPF : FFP, PFF

Pour P F P , je te laisse calculer

[inviteb90b824a]

Ben, pour moi la probabilité de tomber sur Face n'est pas forcément égale à 6/10.. On a juste constaté qu'au bout de 10 tirages, on a obtenu 6 fois Face.
De plus, la proba 0,6 × 0,4 × 0,6 ne tient pas compte de l'ordre des pièces (F → P → F), non ?

[invitec540ebb9]

tes lancés sont independants je dirai que la proba est p²(1-p).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Bonjour zanz,

Comment le sais-tu ?

[inviteb90b824a]

Plus personne ? Je bloque totalement ...

[pallas]

p=0.6 car sur dix lancers on a 6 faces .Les lancers sont independants l'un de l'autre( pas d'indication de contrainte dans l'énoncé genre si le premier lancer est .. alors le second sera ..) donc le résultat est bien celui annoncé par Iris est correct

[inviteb90b824a]

Mais je n'ai laissé aucun résultat ! :/

De plus, je pense que ce n'est pas parce qu'on a observé six faces sur dix lancers que la probabilité d'obtenir face est forcément 6/10..

[danyvio]

Mais je n'ai laissé aucun résultat ! :/

De plus, je pense que ce n'est pas parce qu'on a observé six faces sur dix lancers que la probabilité d'obtenir face est forcément 6/10..

Certes, mais à défaut d'autres informations ...

[invite2f456328]

Les tirages sont bien indépendants là tout le monde est d'accord (à moins que la pièce soit capricieuse )

Sinon pour la probabilité d'avoir F,P,F et P,F,P

On ne nous demande pas de la calculer mais de la trouver, de plus on ne nous dit à aucun moment que p= à quelque chose.

Probabilité p pour Face
Probabilité 1-p pour pile.

Pour avoir F,P,F on aura donc une probabilité de : p²(1-p) comme l'a déjà dit zanz et pour P,F,P une probabilité p(1-p)²

[danyvio]

Vivement le corrigé !

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Ben, pour moi la probabilité de tomber sur Face n'est pas forcément égale à 6/10.. On a juste constaté qu'au bout de 10 tirages, on a obtenu 6 fois Face.

En effet pour que la statistique ait un sens il faudrait un nombre de tirages beaucoup plus élevé. Cependant la probabilité (discrète) d'un évènement est donnée par la fréquence de l'évènement, autrement dit par le nombre de réalisations de l'évènement sur le nombre de tirages.

Comme l'a fait remarquer danyvio, à défaut de plus de tirages on peut dans un premier estimer la probabilité de l'évènement "face" comme étant 6/10.

De plus, la proba 0,6 × 0,4 × 0,6 ne tient pas compte de l'ordre des pièces (F → P → F), non ?

Cela n'a pas d'importance: les tirages FPF, FFP et PFF ont simplement la même probabilité.

Bonne continuation!

[invite51d17075]

suis d'accrod avec dany et la "plume".
si on donne une indication au depart sur un test de tirage, c'est pour s'en servir.
on est dans un exercice de lycée.
même si la proba pourrait être aussi de 0,5 ou 0,7 avec peu de differences.
on trouve 1 chance sur 4 de faire "exactement" 6 tirages sur dix avec une proba p= 0,6
1 chance sur 5 de faire 6 tirages sur dix avec une proba de 0,7 ou 0,5
(si je ne me suis pas planté )
donc au total 0,75 % de chance de tirer 6 faces avec une proba comprise entre 0,5 et 0,7

ensuite il est bien precisé : F,P,F donc avec un ordre implicite et pas deux fois face et une fois pile, ce qui aurait multiplié la probabilité par 3

[invite51d17075]

ou bien c'est plus subtil et il faut aller jusqu'à "integrer" la solution.
en fonction de P(x) la probabilité que x=p, sachant qu'il y a eu 6 tirages face sur 10.
avec P(x)= (x^6)*((1-x)^4)*10!/(6!*4!)
( la courbe a bien sur un max pour x=0,6, avec P(0,6)=0,25)

ensuite
la probabilité finale est :
integrale(0;1): ( P(x)²*(1-P(x))dx .

mais la courbe étant totalement symétrique, on retrouverai la même valeur qu'en prenant p=0,6

[danyvio]

On n'a pas tenu compte de la proba que la pièce tombe et reste sur la tranche . Je sors, c'était pour rire !

[inviteb90b824a]

En fait, après d'intenses efforts de réflexion, je pense avoir trouvé ! Voici ce que j'ai noté :

On pose A l'événement « les trois premiers tirages sont F, P, F » et X la variable aléatoire comptant le nombre de F.
On cherche la probabilité conditionnelle que les trois premiers tirages soient F, P, F en sachant que sur 10 lancers on a obtenu 6 fois F. Cela revient à déterminer p_(X=6)(A).
On sait que : p_(X=6)(A) = p[A⋂(X=6)]/p(X=6) = [p_(X=6)(A) × p(A)]/p(X=6)

• Les lancers étant indépendants, X suit alors la loi binomiale B(10 ; p) donc p(X=6) = (6 parmi 10) × p⁶ × (1-p)⁴

• p(A) = p(F) × p(P) × p(F) = p(1-p)p = p²(1-p)

• p_A(X=6) est la probabilité d'obtenir 6 F en sachant que les trois premiers tirages sont F, P, F. Cela revient donc à chercher la probabilité de trouver 6-2 = 4 F sur les 10-3 = 7 tirages restants. On a donc p_A(X=6) = (4 parmi 7) × p⁴ × (1-p)³

D'où finalement : p_(X=6)(A) = p[A⋂(X=6)]/p(X=6) = [p_(X=6)(A) × p(A)]/p(X=6) = [(4 parmi 7) × p⁴ × (1-p)³ × p²(1-p)]/[(6 parmi 10) × p⁶ × (1-p)⁴] = (4 parmi 7)/(6 parmi 10) = 35/210 = 1/6.

Voilà, j'ai suivi le même raisonnement pour la deuxième question, et je trouve une proba de 1/10.
J'espère ne pas m'être trompée, ce serait cool que quelqu'un puisse venir vérifier que je n'aie pas fait de grave erreur de raisonnement sans m'en apercevoir.