Ensemble à déterminer

[invite99561ea1]

Bonjour, tout le monde je bloque sur un petit exo!

On considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A avec AB=AC=a ou a est un réel strictement positif.

1)Montrer que vecteurV=2vecMA-vecMB-vecMC est indépendant de M est que norme de vecV=arac(2)

=2MA-(MA+AB)-(MA+AC)=-AB-AC=BC Donc indépendant de M!
Or d'apres pythagore BC=rac(2)a

2)déterminer l'ensemble Mp des points M du plan tels que
norme(vecMA+vecMB-vecMC)=norme(vec2MA-vecMB-vecMC)

J'ai trouvé vecMA=2//vecAB// donc c'est le cercle de centre A et de rayon AB???

3)déterminer l'ensemble Mp" des points M du plan tels que
(vecMA+vecMB-vecMC)(vec2MA-vecMB-vecMC)=2a²

La je ne sais pas....

Montrer que Mp et Mp" ont un unique point commun qu'on déterminera

impossible sans la question précédente

4)déterminer l'ensemble Mp" des points M du plan tels que

vecMA(vecMA+vecMB-vecMC)=0


Montrer que omega passe par B
Idem

U, grand Merci pour votre aide
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[invite51d17075]

Bonjour, tout le monde je bloque sur un petit exo!

On considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A avec AB=AC=a ou a est un réel strictement positif.

1)Montrer que vecteurV=2vecMA-vecMB-vecMC est indépendant de M est que norme de vecV=arac(2)

=2MA-(MA+AB)-(MA+AC)=-AB-AC=BC Donc indépendant de M!
Or d'apres pythagore BC=rac(2)a

non pardon, là c'est faux.
V= -AB-AC = -(AB+AC) différent de BC ( au contraire, plutot perpendiculaire à BC)
même si !BC! vaut bien a*rac(2) , V aussi mais pour une autre raison similaire

[invite99561ea1]

Avant tout merci!!!
Mais je ne vois plus comment trouver la norme alors...

[invite99561ea1]

J'ai fais une erreur car la norme de -(AB+AC) c'est 2a! Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

J'ai fais une erreur car la norme de -(AB+AC) c'est 2a! Non?

non c'était ecrit en vecteur donc ,c'est bien a*rac(2)

pour la question suivante, on peut passer par les coord de M
supposons
origine A(0,0) , B(a,0) et C(0,a)

la suite est en vecteurs !!
MA+MB-MC = MA+MB+CM=(CM+MA)+MB=CA+MB
avec
CA ( 0,-a) et MB(a-x,-y)
donc
CA+MB ( a-x,-a-y)
et si la norme vaut a*rac(2) alors
(a-x)²+(a+y)²=2a²
soit un cercle de centre (a,-a) et de rayon a*rac(2) si on a pris les mêmes coord initiales

mais cela ne change en rien la position du centre du cercle qui se trouve en I avec
vect(AI)=vect(CB)

[invite99561ea1]

C'est un parallélogramme bar=(A;1)(B;1)(C;-1)

[invite51d17075]

C'est un parallélogramme bar=(A;1)(B;1)(C;-1)

???? je ne comprend pas.

pour la trois, appelons I centre du cercle trouvé en 2)
avec donc
AI=CB ( en vecteur bien sur )

(MA+MB-MC)(2MA-MB-MC)=2a²
-(MA+MB-MC)(AB+AC)=2a²

on peut ecrire
MA+MB-MC=MI+IA+MI+IB-MI-IC
=MI +IA+IB-IC
=MI+IA+CB
= MI car IA=-CB

donc on cherche M avec
-MI.(AB+AC)=2a²
IM.(AB+AC)=2a²

posons
IM=k1(AB+AC)+k2(CB) ( les 2 vect sont perp.)
IM.(AB+AC)=k1*2a²+0
donc k1=1 et k2 quelconque.

M se trouve sur la droite
IM=(AB+AC)+k*CB

intercection de cette droite avec le cercle:
il suffit que IM²=2a²
soit
((AB+AC)+k*CB)²=2a²
(AB+AC)²+2k(AB+AC).CB+k²CB² =2a²
2a²+0+2a²k²=2a²
soit 2a²k²=0 et k=0
le seul point d'intersection se trouve en
IM=(AB+AC)

[invite99561ea1]

Merci et en plus j'ai réussi la fin