Variation d'une suite

[invitefba353f4]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice !
Voila :
* On pose n≥1, Sn=u₁+u₂+⋯+u_n
Exprimer S_n en fonction de n.
Quel est le sens de variation de la suite (S_n) ?

Données : u_n = 1/(n(n+1)) ou 1/n -1/(n+1)

Pour la première partie je pense que c'est : S_n=1/n -1/(n+1)
Mais après, je n'arrive pas ! Je sais que pour étudier le sens de variation, il faut faire S_n-1 - S_n. Je trouve que S_n est décroissante alors que d'apres la correction du bouquin (sans explication) S_n est croissante

Merci d'avance !
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[invitea3eb043e]

Ecris les valeurs successives des u comme différence 1/n - 1/(n+1)proprement l'une au-dessus de l'autre jusqu'à 5 et calcule S 5. Remets ça jusqu'à S10. Est-ce que tu remarques quelque chose ?

[invitefba353f4]

Non je remarque rien de particulier. C'est ça qui faut faire :
S= 1 -1/2 + 1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +1/4 -1/5 +1/5 -1/6 = 5/6
jusqu'a S10 : 1/6 -1/7 +1/4 -1/8 +1/8 -1/9 +1/9 -1/10 +1/10 -1/11 = 5/66

... mais je ne vois pas

[pallas]

regardes bien par exemple si tu as 1/4 -1/5
+1/5 -1/6 que constates tu sans faire aucun calcul??
Pour les cariation fais S(n+1)-S(n) et c'est evident suivant le signe !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefba353f4]

Franchement je ne comprend pas !! Ce que je constate c'est que -1/5 et +1/5 s'annule, il reste 1/4-1/6 = 1/12 et 1/4>1/6. Donc S est croissant ?
Pour S(n+1)-S(n), je trouve : -2 / (n³ +4n + n²)

[invite029139fa]

En ce qui concerne , tu as fait la bonne remarque : à chaque fois qu'on ajoute , un de ses termes se simplifie avec un des termes de .
Que reste-t-il donc quand tu additionnes ?
Déduis-en l'expression de en fonction de

[invitefba353f4]

Quand j'additionne U1+U2+U3+...+Un-1+Un = 1 -1/(n-1) -1/(n+1)
L'expression de Sn c'est donc 1 -1/(n-1) -1/(n+1) ?

[invitea3eb043e]

Le 1/(n-1) est en trop, autrement tu y es presque. D'ailleurs dans les cas particuliers n=5 et n=10, il n'y avait pas de 1/4 ou 1/9.

[invite2bc7eda7]

Pour être tout à fait rigoureux, tu as affaire à des sommes téléscopiques, c'est à dire dont les termes de proches en proche s'annulent. C'est exactement ton cas ! Il suffit de faire un changement d'indice dans ta somme du type j=k+1 dans une somme (à toi de voir laquelle...) et il ne te restera que très peu de termes...


indice : on peut les compter avec une main seulement