Fonction exponentielle

[invite5c31dad7]

Bonjour, j'ai un problème sur geogébra:
l'exercice dit:
Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j ) la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B à pour coordonnées (2 ; –1).
On admet que la distance BM admet un minimum quand M décrit C. Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe C. et noté
Le but de l’exercice est de démontrer que BM minimal pour M d'abscisse 0 et que la perpendiculaire à (MOB) est la tangente passant par de la courbe, mais je ne vois pas comment faire ???
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[invite029139fa]

Déjà, pour la seconde partie, pense que est le point de la courbe le plus proche de . Donc déduis-en une certaine propriété du cercle de centre passant par .
Ça te permettra d'aboutir au résultat facilement.

[invite5c31dad7]

Déjà, pour la seconde partie, pense que est le point de la courbe le plus proche de . Donc déduis-en une certaine propriété du cercle de centre passant par .
Ça te permettra d'aboutir au résultat facilement.

De quelle propriété parles-tu ?

[invite029139fa]

Que ce cercle est tangent à la courbe puisque est le points le plus proche de sur la courbe. Mais en fait, je ne sais pas si c'est la meilleure idée, parce que tu peux aussi calculer une équation de la tangente à la courbe en ainsi qu'une équation de la courbe affine contenant et . Ainsi, tu n'auras plus qu'à vérifier que le produit des coefficients directeurs de ces deux droites est égal à , ce qui traduit l'orthogonalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c31dad7]

Que ce cercle est tangent à la courbe puisque est le points le plus proche de sur la courbe. Mais en fait, je ne sais pas si c'est la meilleure idée, parce que tu peux aussi calculer une équation de la tangente à la courbe en ainsi qu'une équation de la courbe affine contenant et . Ainsi, tu n'auras plus qu'à vérifier que le produit des coefficients directeurs de ces deux droites est égal à , ce qui traduit l'orthogonalité.

Logiquement , lorsque on n'aura prouver que [BM] minimal quand M et en position
Il en découlera la propriété sur l'orthogonalité. Enfin j'espère

[invite5c31dad7]

J'ai exprimé BM en fonction de x

sachant et on a alors:







Soit Donc



je dérive :





J'étudie le signe du dénominateur:

Or Donc


Mes racines sont 0 et 4

Donc mon polynôme sera >0

pour x ]-;0] [4;+[

J'étudie le signe du numérateur:



donc x>0 pour x ]-;2] [4;+[

Je ne sais pas quoi faire après ??

ce que j'aimerais, c'est avoir quelque chose du genre pour coordonnée de

[invite5c31dad7]

Quelqu'un a t-il une idée ?

[invite83f03d71]

tu ne peux pas dire que en soustrayant les deux inéquations. Tu n'as le droit que de multiplier et additionner les inéquations.
Contre-exemple : pour x=1, 1²-4*1=-3

[invite5c31dad7]

tu ne peux pas dire que en soustrayant les deux inéquations. Tu n'as le droit que de multiplier et additionner les inéquations.
Contre-exemple : pour x=1, 1²-4*1=-3

Je voulais montrer qu'une fonction toujours positif !

[invite83f03d71]

Mais sinon c'est une très bonne idée d'étudier la fonction g en la dérivant.
Si tu trouve que g est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et strictement croissante sur ]0;+∞[ alors tu peux dire que g admet un minimum en x=0.

[invite5c31dad7]

Mais sinon c'est une très bonne idée d'étudier la fonction g en la dérivant.
Si tu trouve que g est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et strictement croissante sur ]0;+∞[ alors tu peux dire que g admet un minimum en x=0.

malheureusement je trouve que sur [0;2] g(x) croissante

[invite83f03d71]

Je voulais montrer qu'une fonction toujours positif !

C'est une propriété de cours:
et comme un carré est toujours positif,

[invite83f03d71]

Tu as un traceur de courbe ?
Si tu regardes, on voie bien que g est décroissante sur ]-∞;0[ et croissante sur ]0;+∞[
Je vais regarder la dérivée et je te réponds

[invite5c31dad7]

Tu as un traceur de courbe ?
Si tu regardes, on voie bien que g est décroissante sur ]-∞;0[ et croissante sur ]0;+∞[
Je vais regarder la dérivée et je te réponds

Oui , mais graphiquement ma dérivée est toujours positive
Incompréhensible

[invite83f03d71]

Je pense avoir trouver:

une racine est toujours positve donc
On pose
h est la somme des fonctions :
continue et monotone sur
continue et monotone sur
continue et monotone sur
donc h est continue et monotone sur
or par addition
et par addition
de plus
donc h(x)<0 sur ]-∞;0[ et h(x)>0 sur ]0;+∞[
d'où g'(x)<0 sur ]-∞;0[ et g'(x)>0 sur ]0;+∞[
alors g est décroissante sur ]-∞;0[ et g est croissante sur ]0;+∞[.
donc g admet un minimum en 0.

[invite029139fa]

Il me semble que ton raisonnement sur la monotonie est faux Rémy53.
En effet, exemple :
La fonction est monotone.
La fonction est monotone.
Or La fonction n'est pas monotone.

[invite5c31dad7]

çà m'a l'air plus que bon ,
sachant
Merci de ton aide Rémy.
Il ne reste plus qu'a multipliée les deux équations de tangentes, et c'est bon !

[invite83f03d71]

Il me semble que ton raisonnement sur la monotonie est faux Rémy53.
En effet, exemple :
La fonction est monotone.
La fonction est monotone.
Or La fonction n'est pas monotone.

Oui tu as raison.
Alors peut-on dire:
On pose

i'(x)>0 donc i est strictement croissante sur R et donc i est monotone sur R

[invite029139fa]

C'est plus respectable
On peut aussi dire désormais que et on finit la démonstration.

A toi de jouer Robotnico !

[invite5c31dad7]

C'est plus respectable
On peut aussi dire désormais que et on finit la démonstration.

A toi de jouer Robotnico !

Merci , pour votre aide