DM (Ts) - Fonction exponentielle

[invite5857d68c]

Bonjour!
Comme indiqué dans le titre j'ai dc un DM sur la fonction exponentielle, et malheuresement je bloque déja sur la première question (heureusement elle ne m'empêche pas de faire la suite)

Voila mon problème :

Soit f(x)= (2-x)e^x -1 définie sur R

1) on me demande de déterminer les limite en + et - oo,

Pour +oo pas de pb je trouve +oo,

en revanche pour -oo je tombe sur une forme indeterminée du type 0 * +oo, j'ai donc essayé de modifier l'expression en multipliant par le conjugué ou en remplaçant e^x par 1/e^-x mais je tombe tjs sur une forme indeterminée
Pourriez vous m'indiquer une technique pour résoudre ce pb, y en a t il une a appliqué svt ds ce genre de cas?


PS: pour prouver que f est dérivable sur r, il suffit de dire que (e^x)' = e^x et que c'est défini sur R, et que donc f est dérivable sur r, non?
merci d'avance
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[invite33bf3f30]

Heu, en +oo, c'est -oo la limite.

Sinon tu dois avoir dans ton cours la limite de x*e^x quand x tend vers -oo (la limite est 0), donc en -oo c'est -1

[invitedf667161]

Retiens la phrase magique : "exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de x"

En -oo tu as bataille entre l'exponentielle qui tire vers 0 et -x qui tire vers +oo. Qui qui gagne?
Exponentielle!

[invite5857d68c]

ok merci bien,

Lagoon :

Heu, en +oo, c'est -oo la limite.

Autant pr moi, faute de frappe

A part ça c'est bien comme j'ai dit plus haut pr la dérivabilité de la fonction ou il faut rédiger autrement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

A part ça c'est bien comme j'ai dit plus haut pr la dérivabilité de la fonction ou il faut rédiger autrement?

Il vaut mieux expliquer que f est le produit et la somme de fonctions dérivables sur IR, et sachant qu'un produit de fonctions dérivable est dérivable (et qu'une somme de fonction dérivables est dérivable) , on a f dérivable.

Par exemple pour montrer que f(x)=h(x)*g(x)+t(x) est dérivable, il suffit de montrer que h, g et t sont dérivables (le plus souvent la dérivabilité de h g ou t est un résultat de cours supposé connu, genre la fonction exponentielle est dérivable)

[invite5857d68c]

ok merci, ça me paraissait évident que (2-x) était dérivable que je ne pensais pas le mettre, ms c'est vrai que pr la rédaction, comme tu le dis c'est mieux,

[invite5857d68c]

Re bonjour j'ai a nouveau un pb ac ce DM (que j'ai du laisser de coté qq jours)

je vais vs récapituler ce que j'ai fait car l'exo est en 2 parties et on a besoin de la 1ere pr faire la 2e :

PARTIE A
f(x)= (2-x)e^x -1 définie sur R

1) lim de f en + oo = -oo
lim de f en -oo = -1

2) j'ai montré que f est dérivable et continu sur R et j'ai étudié le signe de al dérivée : f'(x) = e^x (1-x)

f'(x) strict positive sur ]-oo; 1 ] dc f strict croissante sur ]-oo; 1 ]
f'(x) strict négative sur ]1; +oo[ dc f strict décroissante sur ]1; +oo[

on me demandais de calculer les valeurs exactes de :
f(-2)= 4e^-2 -1 (je ne suis pas sur qu il faille laisser comme ça)
f(0)= 1
f(1)= e -1
f(2)= -1


3) Ici il fallait prouver que que f s'annule en 2 valeurs: a et B (alpha; beta) ac a<0, je l'ai fait ac le théorème des valeurs intermédiaires

on me demandait alors d étudier le signe de f,
j'ai trouvé négatif sur ]-oo; a[ u ]B ; +oo[ et positif sur [a; B]

4) il fallait donné un encadrement a 10^-2 de a et B ac la caltos :
-1.15<a<-1.14 1.84<B<1.85

5) montrer que e^a = 1/ (2-a)
là j'ai trouvé je suis parti de (2-a)e^a -1 = o



PARTIE B :

soit g(x) = (e^x -1)/(e^x -x)

1) montrer que pr tt x : e^x-x>0, ça j'ai bien tout démontrer, on en déduis que g est définie sur R

2) lim de g en +oo = 1
lim de g en -oo = 0^-

C'est là que je vais sécher :
3) calculer g'(x) puis à l'aide des résultats de la partie A faire le tableau e variation de g :
alors g'(x) = (e^x -1) / (e^2x -2xe^x +x²) (je me demande si je ne me suis pas trompé)

et là je ne vois pas comment me servir de la partie A

4) montrer que g(a)= 1/(a-1) a étant le plus petit des 2 nbres pr lequel f s'annule et là je ne vois pas non plus comment mettre en relation f et g (à part le e^x-1 en commun ...)

[invite5857d68c]

Pouvez vous m'aider s'il vous plaît car je ne vois vraiment pas pr la fin

[invite97a92052]

4) montrer que g(a)= 1/(a-1) a étant le plus petit des 2 nbres pr lequel f s'annule et là je ne vois pas non plus comment mettre en relation f et g (à part le e^x-1 en commun ...)

Salut,

Si tu calcules g(a) en remplaçant par , ça ne marche pas ?

[invite52c52005]

La dérivée de g me parait suspecte. Refais la et tu verras le lien avec la première partie.

[invite5857d68c]

Ok j'essaierai ça demain merci

[invite5857d68c]

Merci bcp jy suis arrivé, je m'étais bien trompé ds la dérivée, en fait le numérateur devient f alors après c'est bon

[invite8948536d]

je n'ai pas réussi la partie A pouvez vous la détaillé pour moi svp

[invite3558c578]

ils sont vraiment méchant les profs de maths

[invite5b6556bb]

Salut, moi j'ai le même enoncé mais il le demande d'étudier les variations de f. Que mettre ?

[invite3558c578]

Il suffit que tu calcule la dérivé de ta fonction, et d'étudier pour quelle valeur de x cette dérivée est négative ou positive, pour toutes les valeurs de x où ta dérivée est positive, alors ta fonciton est croissante, et inversement, elle est décroissante pour toutes les valeurs de x où ta dérivée est négative.