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Fonction exponentielle



  1. #1
    casanam

    Fonction exponentielle


    ------

    Bonjour à tous, j'ai un petit problème sur une question d'un exo :

    Soit f(x)=e^-x*cos(4x), définit sur [0;+00]

    On définit la suite (Un) sur N par Un=f(n*Pi/2)
    1) Montrer que la suite (Un) est géométrique.

    Comme je n'ai pas Un+1, Je ne peut pas fair Un+1/Un. Merci pour votre aide!!

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Fonction esponentielle

    Bonsoir.

    La méthode un+1/Un est en effet souvent pas pratique, mais n'est pas une obligation pour montrer qu'une suite est géométrique.

    Calcule ce que vaut effectivement Un=f(n.pi/2) et regarde que Un peut s'écrire sous la forme: .
    Avec a indépendant de n que tu dois trouver.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    J'ai calculer Un= e-(nPi/2).cos(2nPi) mais je ne comprend pas trop comment il faut faire pour trouver Un=a^n est-ce que je doit factoriser??

  5. #4
    Ledescat

    Re : Fonction esponentielle

    Que vaut cos(2n pi) pour n entier ?
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    Je vois pas trop, logiquement ça vaut cos(-nPi/2), mais je ne sais pas pourquoi?!?

  8. #6
    Ledescat

    Re : Fonction esponentielle

    Citation Envoyé par casanam Voir le message
    Je vois pas trop, logiquement ça vaut cos(-nPi/2), mais je ne sais pas pourquoi?!?
    Regarde sur le cercle trigo où se trouve 2n pi pour n=0,1,2 etc...

    Autrement dit, que vaut n*2pi modulo 2pi ?
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    ah d'accord et bien si je prend n=0,1,2... je retombe toujours sur Pi

  11. #8
    Ledescat

    Re : Fonction esponentielle

    Citation Envoyé par casanam Voir le message
    ah d'accord et bien si je prend n=0,1,2... je retombe toujours sur Pi
    non ce n'est pas Pi...
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    ben je ne comprend pas parceque si je prend par exemple n=2, ça va faire 4Pi, et donc je vais faire 4 fois le tour du cercle trigo et je vais retomber sur Pi. Mais si c'est pa Pi...je ne vois pas trop

  13. #10
    Coincoin

    Re : Fonction esponentielle

    ça va faire 4Pi, et donc je vais faire 4 fois le tour du cercle trigo
    Combien de radians fait un tour du cercle ?
    Encore une victoire de Canard !

  14. #11
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    eh bien 0. En tout cas je suis désolé je galère un peu beaucoup en maths ^^

  15. #12
    Coincoin

    Re : Fonction esponentielle

    Perdu. Quelle est la définition d'un radian ?
    Encore une victoire de Canard !

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  17. #13
    Dydo

    Re : Fonction esponentielle

    La tour du cercle trigonométrique ça fait 2 Pi radians ( que tu utilises d'ailleurs pour calculer la circonférence d'un cercle ), mais tu as déjà vu à quoi correspondait le cosinus d'un angle donné graphiquement ?

    Le cas échéant voici un petit dessin très complet (peut être un peu trop pour l'occasion, mais tu vois bien le cosinus (cos) qui correspond à l'abscisse du point d'intersection de la droite formant l'angle cherché avec (Ox) et le cercle trigonométrique)

  18. #14
    casanam

    Re : Fonction esponentielle

    Merci à tous pour votre aide mais je suis complètement perdu et je ne vois toujours pas comment je peut faire pour prouver que ma suite est géométrique... et un tour de cercle ça fait Pi radian soit 180 degrés!!
    Dernière modification par casanam ; 20/11/2007 à 19h49.

  19. #15
    Dydo

    Re : Fonction esponentielle

    Relis le post de Ledescat, c'est souvent la meilleure manière et la plus simple de prouver qu'une suite est géométrique : tu compares le rapport d'un terme au suivant avec 1, ici tu calcules :



    Regarde bien ton cours sur le cosinus, et tu verras que les cos(4n.pi) et cos(4(n+1)pi) vont se simplifier, il ne te restera plus qu'à diviser des termes que tu peux facilement diviser et simplifier ... c'ets plus grand ou plus petit que 1 ?

    Edit : Grillé par l'édit : un tour de cercle ça fait 360° hein, soit 2 Pi; 180° ou Pi c'est juste un demi tour de cercle ^^

  20. #16
    Ledescat

    Re : Fonction esponentielle

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Relis le post de Ledescat, c'est souvent la meilleure manière et la plus simple de prouver qu'une suite est géométrique : tu compares le rapport d'un terme au suivant avec 1, ici tu calcules :

    Quel intéret de calculer ce rapport ici ?
    Le cos(2npi) se simplifie directement en (???) [haha ]
    Et on obtient (grâce à lexpo) directement une forme géométrique.
    Cogito ergo sum.

  21. #17
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    Donc comme 2Pi c'est égale à un tour du cercle trigo, cos(2nPI) c'est peu être égale à cos (Pi)^n???

  22. #18
    Ledescat

    Re : Fonction exponentielle

    Citation Envoyé par casanam Voir le message
    Donc comme 2Pi c'est égale à un tour du cercle trigo, cos(2nPI) c'est peu être égale à cos (Pi)^n???
    Hélàs pas du tout.

    En n tour de cercle (correspondant à 2npi), tu es retombé sur l'angle 0.
    Que vaut cos(0) ?
    Cogito ergo sum.

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  24. #19
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    cos (0)=1 j'ai oublié le 2 non? C'est pas cos(2nPi)=cos(2Pi)^n??

  25. #20
    Ledescat

    Re : Fonction exponentielle

    Citation Envoyé par casanam Voir le message
    cos (0)=1 j'ai oublié le 2 non? C'est pas cos(2nPi)=cos(2Pi)^n??
    Euh, ça m'embête de te dire oui.
    Comme 1^n=1 ok.

    Mais il n'y a aucune formule du genre cos(nx)=cos(x)^n

    Donc la justification de cos(n.2pi) n'est pas celle-là. C'est juste un raisonnement pur et simple sur le cercle.

    Que tu fasses 1 tour de trop, 20 tours de trop ou plus , cos (ou sin) n'y voient que du feu.
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    ah ok mais je peut quand même écrire que Un=f(n*Pi/2)
    =e^-nPi/2.cos(4nPi/2)
    =e^-nPi/2.cos(2nPI)
    =e^-nPi/2.cos(2Pi)^n
    Et donc la suite est géométrique de raison q=cos(2Pi) soit =1

  27. #22
    Ledescat

    Re : Fonction exponentielle

    Ben non, tu en fais quoi de l'exponentielle ?
    Il y a du n dedans, et je t'ai demandé de chercher une forme a^n, avec a indépendant de n.
    Cogito ergo sum.

  28. #23
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    Ah oui ben je ne sais vraiment pas.

  29. #24
    Ledescat

    Re : Fonction exponentielle

    Citation Envoyé par casanam Voir le message
    Ah oui ben je ne sais vraiment pas.
    Ca ne te dit rien ?
    Cogito ergo sum.

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  31. #25
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    Ah oui ben je ne sais vraiment pas.

  32. #26
    casanam

    Re : Fonction exponentielle

    Mais oui!!! j'ai enfin compris enfin j'espère. On a donc (e^-Pi/2)^n.cos(2Pi)^n, soit (e^-Pi/2.cos(2Pi))^n.

  33. #27
    Coincoin

    Re : Fonction exponentielle

    C'est juste mais par chance. Dire que cos(nx)=cos(x)^n ne marche pas en général, sauf dans le cas très particulier où x vaut 2pi. Fait donc très attention et ne le rédige pas comme tu l'as fait.
    Encore une victoire de Canard !

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