Primitive de e^f(x)

invite853bb110 · 17/05/2010, 16h56

Bonjour à tous!

Je sollicite votre aide car je suis confronté à des primitives assez ardues devant lesquelles mes formules ne me sont d'aucune aide...

Il s'agit de faire la primitive de fonctions telles que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Or, je ne connais pas de formule pour faire $\text{[math]}$ , seulement $\text{[math]}$

(J'ai sciemment omis les constantes par facilité).

Je ne demande pas forcément de réponse aux deux exemples (j'en ai déjà), mais simplement une méthode pour y parvenir.

Merci d'avance si vous pouvez m'aider.

Cordialement, Math

**Rhodes77** · 17/05/2010, 17h13

Bonjour,

Avez-vous entendu parler des "changements de variables" ?
Posez par exemple $\text{[math]}$ , remplacez toutes les occurences de x par la transposition correspondante pour u, et voyez si ce n'est pas plus simple d'intégrer en u.
En général on peut s'en sortir à l'aide d'une intégration par partie.

Sinon, vous pouvez essayer de chercher la fonction, qui, quand on la dérive, donne celle que vous cherchez à intégrer...ca suppose pas mal de conditions.

Bon courage.

**Elie520** · 17/05/2010, 17h15

Envoyé par je_roxxx

Or, je ne connais pas de formule pour faire $\text{[math]}$

Il faut que tu saches que par exemple, $\text{[math]}$ n'a pas de solution. Ainsi, il en est de même pour les autres que tu as écrit. On sait faire $\text{[math]}$ mais pas $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ n'est pas une constante.

**Elie520** · 17/05/2010, 17h16

J'ai dis une bêtise, c'est plutôt on ne sait pas TOUJOURS faire etc...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite853bb110 · 17/05/2010, 17h23

@Rhodes77

Je connais la méthode des changements de variable

Le problème si je pose $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , c'est que je n'arrive pas à placer le $\text{[math]}$ ou le $\text{[math]}$ , sensés remplacer le dx.

Je m'exprime probablement mal, dites moi si vous ne comprenez pas mon problème...

@Elie520

Je conçois bien que toutes les primitives n'existent pas, seulement, celles que je demande ici existent bel et bien.
Je peux même vous en donner les réponses, qui m'ont été fournies, malheureusement sans explications...

Cordialement, Math

**Plume d'Oeuf** · 17/05/2010, 17h36

Bonjour,

Envoyé par je_roxxx

Je connais la méthode des changements de variable

Le problème si je pose $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , c'est que je n'arrive pas à placer le $\text{[math]}$ ou le $\text{[math]}$ , sensés remplacer le dx.

Attention, c'est $\text{[math]}$ qu'il faut remplacer par une fonction de $\text{[math]}$ , pas l'inverse.

Tu as par exemple, en posant $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Que vaut $\text{[math]}$ ?

Bon courage!

**Rhodes77** · 17/05/2010, 17h44

Et oui, si u²=x, dx=2udu.
Dans l'intégrale, remplacez alors le dx par 2udu, et éclatez-vous bien sur une intégration par partie ^^

Bon courage !

**DarK MaLaK** · 17/05/2010, 17h45

Bonjour,

Envoyé par je_roxxx

Le problème si je pose $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , c'est que je n'arrive pas à placer le $\text{[math]}$ ou le $\text{[math]}$ , sensés remplacer le dx.

$\text{[math]}$

Donc le changement de variable a l'air de fonctionner pour la première primitive.

**Plume d'Oeuf** · 17/05/2010, 17h54

Il fonctionne aussi pour la seconde. On se retrouve à chercher une primitive de:

$\text{[math]}$

Bon courage!

invite853bb110 · 17/05/2010, 18h05

Merci à tous pour l'explication de $\text{[math]}$ , je l'ai maintenant bien comprise.

Par contre, pour $\text{[math]}$ , je n'arrive pas à y appliquer la même méthode, car en posant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , j'en arrive à $\text{[math]}$ .
Je procède alors par partie, mais quoi que je fasse, il me reste toujours un $\text{[math]}$ qui ne s'enlève pas!

Fais-je une erreur?

Encore merci!

Cordialement,
Math

**DarK MaLaK** · 17/05/2010, 18h10

Envoyé par Plume d'Oeuf

Il fonctionne aussi pour la seconde. On se retrouve à chercher une primitive de:

$\text{[math]}$

Bon courage!

D'où vient le signe - ? Il me semble qu'on a une racine...

$\text{[math]}$

Envoyé par je_roxxx

Merci à tous pour l'explication de $\text{[math]}$ , je l'ai maintenant bien comprise.

Par contre, pour $\text{[math]}$ , je n'arrive pas à y appliquer la même méthode, car en posant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , j'en arrive à $\text{[math]}$ .
Je procède alors par partie, mais quoi que je fasse, il me reste toujours un $\text{[math]}$ qui ne s'enlève pas!

Fais-je une erreur?

Encore merci!

Cordialement,
Math

Je n'ai pas cherché mais peut-être qu'une double intégration par parties marchera.

**Rhodes77** · 17/05/2010, 18h14

Re,

Posons u=arccos(x) càd x=cos(u) alors dx=-sin(u)du.
L'intégrande devient donc -sin(u).exp(u).du.

**DarK MaLaK** · 17/05/2010, 18h57

Ah oui pardon, c'est la formule donnée pour la dérivée de Arccos qui était fausse. Il manquait le signe "-".

invite853bb110 · 17/05/2010, 19h36

Je vous remercie énormément pour votre aide!

Malheureusement, malgré vos précieux conseils, je bloque toujours avec mon $\text{[math]}$ qui reste à n'en plus finir!

Je m'explique :

J'ai compris comment arriver à $\text{[math]}$
Là, je commence une intégrale par partie :
Je pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Je pose également $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Par la formule $\text{[math]}$ , j'obtiens $\text{[math]}$ (j'ai supprimé le "-" de l'intégrale du début avec les $\text{[math]}$ ).

Seulement, à chaque fois que je refais cette intégrale par partie, le $\text{[math]}$ reste indéfiniment...
J'ai essayé de repasser de u à x, mais ça ne m'a pas avancé beaucoup =/

Désolé si je commets une bête erreur, mais je ne vois vraiment pas

Math

**Rhodes77** · 17/05/2010, 19h45

Et si vous opérez une deuxième IPP sur le dernier terme ?
Il devrait sortir une intégrale qui ressemblera à la première et qu'on pourra balancer dans le membre de gauche nan ?
Faut tenter le coup...
Désolé je n'ai pas trop le courage là mais c'est une astuce qui fonctionne souvent avec cos et sin, du fait de leurs propriétés de dérivées.

Bon courage !

invitec1ddcf27 · 17/05/2010, 19h51

Salut,

je prends la discussion en cours. Pour calculer

$\text{[math]}$

tu peux faire deux intégrations parties. A la seconde intégration, tu vois revenir I. Sinon, et ce sera plus rapide, tu peux directement chercher une primitive sous la forme

$\text{[math]}$

un calcule rapide (10 sec) permet de calculer les consantes A et B

**Plume d'Oeuf** · 17/05/2010, 20h26

Envoyé par je_roxxx

Je procède alors par partie, mais quoi que je fasse, il me reste toujours un $\text{[math]}$ qui ne s'enlève pas!

Ce n'est pas vraiment l'exponentielle qui pose problème, mais plutôt l'autre partie.

Il faut commencer par supprimer tous les x de ton intégrale: quand on fait un changement de variable, il faut le faire jusqu'au bout (Rhodes777 t'explique comment faire ça dans son message #12).

Ensuite on se retrouve avec le produit d'une exponentielle et d'un sinus à intégrer. Qui dit produit dit IPP, et qui dit produit avec une fonction sinusoïdale dit souvent double IPP, de façon à faire apparaître à nouveau l'intégrale de départ comme cela vient d'être dit.

Bonne continuation.

invite853bb110 · 17/05/2010, 21h10

Haaa, je pense avoir compris!
Je n'avais vu qu'une seule fois cette technique au cours, et je l'avais malencontreusement oubliée =/ (Mea culpa =S).

J'y suis finalement arrivé (en recommençant 3 fois à cause de mes erreurs de signes... -_-)! =)

$\text{[math]}$

Je vous remercie tous sincèrement!
J'avais de nombreuses craintes en demandant sur ce forum, mais vous m'avez vraiment aidé, au-delà de toutes mes espérances

Encore merci!
Cordialement,
Math

invitec1ddcf27 · 18/05/2010, 00h29

Ouais, c'est le bon résultat. A part qu'il serait préférable de ne pas utiliser la même variable x dans chacun des membre de l'inégalité : ces variables n'ont pas le même sens. Il faut écrire au minimim :

$\text{[math]}$

Aussi, il aurait fallu être attentif à l'intervalle sur lequel existent ces primitives..... et justifier un peu le changement de variable !

Enfin, je réitère qu'avec l'habitude, pour le calcul de la dernière intégrale, c'est plus intelligent de voir que l'espace vectoriel des fonctions s'écrivant sous la forme

$\text{[math]}$

est stable par dérivation. De sorte qu'une primite d'une telle fonction s'écrive sous cette même forme. Plus précisement, si tu dérive, tu trouves :

$\text{[math]}$

de sorte que pour trouver ta primitive, il te suffisait "d'identifier les coefficients", donc de résoudre le système

$\text{[math]}$

Ce qui donne immédiatement B = -A = 1/2. Puis

$\text{[math]}$

Il me semble que c'est beaucoup plus rapide que de faire deux IPP. Et cela relève de la pensée mathématique et pas de la technique ce calcul !!! Bon on n'est pas de physiciens non plus ! Les maths, ce ne sont pas que des outils calculatoires. La même remarque montre qu'une primitive de

$\text{[math]}$

est de la forme

$\text{[math]}$

Il est évident que dériver et identifier les coefficients d'un polynôme, c'est plus astucieux que d'intégrer par parties 5 fois !

invite853bb110 · 21/05/2010, 18h36

Re-bonjour!

Tout d'abord, à xav75.
Je ne doute pas que ton raisonnement soit correct, voire théoriquement plus simple que le mien. Seulement, je ne me sens pas les capacités mathématiques de le faire (j'avoue que je le comprends peu)... Du moins pas sans un gentil prof de math à coté de moi pour m'expliquer à mon aise

Mais je retiens quand même que cette méthode existe.

Pour les notations... J'ai utilisé celle de l'école de préparation où je vais... =( Je ne garantis pas qu'elles soient les meilleures, mais je pense qu'elles sont suffisantes à mon niveau (je suis tout pile au niveau du bac français).

Pour le reste, je me permets de re-solliciter votre aide sur une autre primitive... (Je ré-utilise le même topic pour ne pas surcharger le forum!) Même si elle ne concerne plus e^x.

Je dois faire la primitive suivante : $\text{[math]}$
Une réponse, $\text{[math]}$ m'est donnée, mais je n'arrive pas à celle là par ma méthode.

Pourriez vous me dire si le raisonnement que j'effectue est également correct (cf. ci-dessous), et si vous le savez, par quelle méthode arriver au résultat ci-dessus?

Pour ma part, je commence par partie : je pose
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (Je peux aussi expliciter comment je trouve G par substitution, si besoin est).

Ce qui donne que $\text{[math]}$
Ce qui est égal à $\text{[math]}$

La primitive de $\text{[math]}$ est, par substitution, $\text{[math]}$

Ce qui nous donne au final que $\text{[math]}$

Est-ce bon?

Merci d'avance pour vos réponses (et désolé si j'ai fait une bête faute...).

Cordialement,
Math

**Plume d'Oeuf** · 21/05/2010, 18h53

Re!

Envoyé par je_roxxx

Re-bonjour!
Ce qui donne que $\text{[math]}$
Ce qui est égal à $\text{[math]}$

Il y a juste un problème de constante ici. Tu sors 248 de l'intégrale, mais pas comme il faut.

invite853bb110 · 21/05/2010, 19h21

Ho oui! Merci Plume d'Oeuf! Très bête faute de ma part...

Je reprends le raisonnement :

Ce qui donne que $\text{[math]}$
Ce qui est égal à $\text{[math]}$

La primitive de $\text{[math]}$ est, par substitution, $\text{[math]}$

Ce qui nous donne au final que $\text{[math]}$

Est-ce juste maintenant?

Cordialement, Math

**Plume d'Oeuf** · 21/05/2010, 19h38

Je n'ai pas vérifié mais ça y ressemble. Factorise le numérateur et regarde si tu retombes sur la solution qui t'est donnée (248*250=62000).

Primitive de e^f(x)

Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

Re : Primitive de e^f(x)

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