Bonsoir à tous,
J'ai un petit soucis avec le problème qui suit : je ne trouve pas.
Voici l'énoncé :
On colorie tous les points du plan en utilisant 2 couleurs : rouge et vert.
Démontrer qu'il existe un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 ouet dont les 3 sommets sont de la même couleur.
Bien sûr, je n'abandonne pas mes recherches,
Bon courage !
Hexagone...+centre
ben non, en tout cas ça marche pas même si j'avais la même direction d'idée.Envoyé par Michel (mmy)
on peut facilement construire un nid d'abeille sans triangle equilatéral avec des couleurs identiques, ni de coté 1, ni de coté sqrt(3) en prenant 1 sommet sur 3
Annulé....
Dernière modification par invité576543 ; 05/06/2010 à 10h11.
probable, au reveil, je suis pas forcement alerte, mais j'aimerai bien la demo pour satisfaire ma curiosité intellectuelle
Ce n'était pas le "nid d'abeille" que je suggérais. Ceci dit, l'indice est un peu léger...
Mais à reprendre la solution que j'avais en tête, y'a bien un bug.
L'idée était de prendre un hexagone et son centre, avec A la couleur du centre. Alors la seule possibilité qui reste, c'est ABBABB pour les sommets. De là on montre qu'il y au moins 2/3 des points du cercle qui sont B. Je pensais avoir montré qu'alors il y en avait au moins 3 de ces points formant un triangle équilatéral, mais c'est faux (il faut 2/3 + epsilon...).
Dessine un hexagone et regarde le centre et les 6 points. Le cas le plus défavorable est le centre vert et les 6 sommets rouges. Si c'est le cas, tu traces un autre hexagone pareil dont le centre est un des sommets rouges. Tu dessines le cas le plus défavorable en t'interdisant les petits triangles rouges.
Alors tu verras apparaître un triangle avec 3 sommets verts mais plus grand.
La clé c'est un dessin bien soigné.
N.B. Ils sont forts ces Chinois, et pas seulement en foot !
Whoa! Alors là je dis chapeau! La simplicité de cette démonstration la rend impressionnante... Je suis bluffé.
Dernière modification par Plume d'Oeuf ; 05/06/2010 à 12h02.
Ce n'est pas défavorable, il y a deux triangles équilatéraux à sommets rouges de taille sqrt(3) !
Le cas défavorable, c'est VRRVRR...
Ah mince c'est vrai. Mais dans ce cas si l'on prend un des sommets rouges comme centre d'un second hexagone, on obtient 3 sommets déjà colorés VVR. Les sommets suivants, de chaque côté de ce groupe, sont forcément verts sous peine d'obtenir des triangles équilatéraux de côté 1 ou 2.
On a donc un hexagone de centre R avec une suite de sommets VVVRV. Et là on voit apparaître un triangle équilatéral vert de côté sqrt(3).
Re : Olympiade chinoise-1986
Salut à tous,
J'ai pu progresser dans la rédaction de ma solution, la voici :
Si tous les points du plan sont de la même couleur, le problème est résolu.
Supposons donc que les points du plan ne sont pas tous de la même couleur ; démontrons alors qu'il existe 2 points dont la distance vaut 2 et qui sont de couleurs différentes : en effet, on suppose que lorsque la distance entre 2 points vaut 2 alors ils sont de la même couleur.
Soient alors A et B deux points distincts du plan. On place les points A1,A2,...,Ak sur le segment [AB] de telle sorte que AA1=A1A2=...=Ak-1Ak=2 et AkB
Ainsi, on démontre que tous les points du plan sont de la même couleur, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse.
Soient alors A et B deux points de couleurs différentes et tels que AB=2. Soit O le milieu du segment [AB]. Le point O a la même couleur que A ou que B. Supposons qu'il à la même couleur que A. On construit alors les 2 triangles équilatéraux AOD et AOC (de côté 1).
Si l'un des points C ou D a la même couleur que A, alors l'un des triangles AOD ou AOC est solution, sinon le triangle BCD (de côté
Cela me paraît OK d'un bon à l'autre.
ben non,
j'aime bien le dessin d'ailleurs.
je prend un hexagone ABCDEF en tournant dans un sens
avec 0 comme centre.
le cas "défavorable" est
A,O,D rouge et les autres verts. ( A,O,D alignés forcement )
il n'y a ni petits ni grands triangles avec trois couleurs identiques, même si on fait un nid d'abeille.
2 est permis...
super la demo !
Dernière modification par ansset ; 05/06/2010 à 14h52.
C'est exactement le même cas que j'avais décrit comme "VRRVRR" avec centre V...
exact, j'avais lu en diagonale ! sorry.
Re : Olympiade chinoise-1986
Merci beaucoup pour votre aide.
a+
