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[Defi] Construction géométrique



  1. #1
    Lelouch

    [Defi] Construction géométrique

    Bonjour,

    Voila je viens poster un défi ( du moins pour un lycéen ) qui ne nécessite pas plus de connaissance en géométrie que ceux du collège mais que je trouve assez intéressant.

    Soit A et B deux points fixes du plan et soit k une longueur donnée. Il s'agit de construire a la règle et au compas le/les point(s) M qui vérifie(nt):



    Bonne chance

    -----

    Lelouch

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    Bonjour,

    Voila je viens poster un défi ( du moins pour un lycéen ) qui ne nécessite pas plus de connaissance en géométrie que ceux du collège mais que je trouve assez intéressant.

    Soit A et B deux points fixes du plan et soit k une longueur donnée. Il s'agit de construire a la règle et au compas le/les point(s) M qui vérifie(nt):



    Bonne chance
    Il n'y a pas beaucoup de solutions à (2 en fait).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    2 solutions ? Il y a une infinité de M qui vérifient
    Lelouch

  5. #4
    Seirios

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il n'y a pas beaucoup de solutions à (2 en fait).
    Il n'y en a pas plutôt une infinité ? En rajoutant la condition , on trouve alors deux ou une ou aucune solution selon la valeur de k.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    on trouve alors deux ou une ou aucune solution selon la valeur de k.
    Pas tout a fait d'accord
    Lelouch

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : [Defi] Construction géométrique

     Cliquez pour afficher
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    Médiat

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Il n'y en a pas plutôt une infinité ?
    Je ne sais où j'avais la tête ce matin
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Remarque très pertinence tu m'a fait douter un instant .

     Cliquez pour afficher
    Lelouch

  12. #9
    Cherchell

    Re : [Defi] Construction géométrique

    MA2 + MB2 = 2 MI2 + 2 IA2
    où I désigne le milieu de [AB] (pense à passer par les produits scalaires pour le prouver)
    donc MA2 + MB2 = AB2 est équivalent à 2 MI2 + 2 IA2 = 4 IA2 soit MI2 = IA2
    donc M décrit le cercle de centre I de rayon IA.

    Si , MA + MB = k n'a pas de solution, sinon, M décrit une ellipse de foyers A et B.
    Penser à une ficelle accrochée en A et B de longueur fixe k ...
    M est donc un des points d'intersection lorsqu'ils existent de cette ellipse et du cercle

  13. #10
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Et sans ficelle tu ferais comment ? Ce qui rend le probleme intéressant c'est justement la construction a la règle et au compas uniquement.
    Lelouch

  14. #11
    Cherchell

    Re : [Defi] Construction géométrique

    D'après mes souvenirs, il suffit de tracer le cercle de centre A de rayon k et de choisir un point N sur ce cercle ensuite de tracer la médiatrice de [BN] qui coupe AN en un point M tel que MB = MN et comme AN = AM + MN on a k = AM + BM donc M est un point de l'ellipse. On recommence autant de fois qu'on a la patience de le faire et on trace une ellipse de foyer A et B et de grand axe k

  15. #12
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Cela reste quand même une "approximation" puisque tu n'arrivera pas a construire une ellipse "parfaite" .. Et sans passer par l'ellipse tu ferais comment ? (avec un peu d'astuce tu n'en a pas besoin de la construire)
    Lelouch

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  17. #13
    Elie520

    Re : [Defi] Construction géométrique

    A mon avis, certes il faut savoir que c'est l'intersection d'un cercle et d'une ellipse, mais il ne faut pas cherche à construire l'ellipse, mais plutôt à trouver ou se situe les points solutions sur cette ellipse.
    Quod erat demonstrandum.

  18. #14
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Alors personne n'avance ?
    Lelouch

  19. #15
    Seirios

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Je propose cette méthode :

     Cliquez pour afficher
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  20. #16
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    @Phys2
     Cliquez pour afficher


    Un indice pour ceux qui cherchent:
     Cliquez pour afficher
    Lelouch

  21. #17
    Seirios

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    @Phys2
     Cliquez pour afficher
     Cliquez pour afficher
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  22. #18
    Lelouch

    Re : [Defi] Construction géométrique

    Je vais certainement passer pour l'avocat du diable : et si ton papier n’étais pas millimétré ou du moins sans repère ?
    Mais cela reste néanmoins une très belle construction plus analytique que géométrique je n'y avais pas pensé surtout que je me suis obstiné a le résoudre de façon purement géométrique.
    Lelouch

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  24. #19
    ansset

    Re : [Defi] Construction géométrique

    j'ai aussi une construction géometrique mais qui passe d'abord par une reflexion analytique .
    ( désolé , c'est un peu alambiqué )
    si a est l'angle BAM.
    on voit que AM/AB+MB/AB=sin(a)+cos(a)=sin(a+pi/4)/rac(2)
    egal aussi à K/AB d'ou
    sin(a+pi/4)=K/ABrac(2).

    maintenant on cherche a de façon géométrique.
    soit C(A,k) le cercle de centre A et rayon k
    et C(A,ab) le cercle de centre A et rayon AB

    pour obtenir K/ABrac(2) il faut poser le point d'intersection entre C(A,k) et une droite à 45° puis projeter ce point de manière horizontale sur le cercle C(A,ab) , on trouve ainsi l'angle a+pi/4
    on descend ensuite cette droite de pi/4 ( plusieures méthodes ) et on trouve l'angle a.
    l'intersection de cette droite avec le cercle de diametre AB donne le point M

    on voit aussi que les limites pout K sont
    AB<=K<=ABrac(2)

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