Calculs dans C

[Jon83]

Bonjour!

z et z' appartiennent à C
Si |z|=|z'| et z.z'<>-1, je n'arrive pas a démontrer que (z+z')/(1+z.z') est réel????
Merci pour votre aide...
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[invitefee9b333]

Salut,
T'as trois méthodes :
réel

Je pense qu'en effectuant le calcul du conjugué de ça aboutit , en prenant ,
et
et en effectuant les opérations sur les conjugués...

[Jon83]

Bonjour!

Merci pour ta réponse!

Si je calcule le conjugué, je trouve:
conj[(z+z')/(1+zz')] = [conj(z) + conj(z')]/[1+conj(z)*conj(z')]
Mais je ne suis pas sûr car en utilisant les formes exponentielles, le dénominateur me pose problème????

[Jon83]

En fait, je trouve pour le conjugué: r[exp(-ia) + exp(-ia')]/[1+r²exp(-ia-ia')].
Si je multiplie numérateur et dénominateur par exp(ia)*exp(ia'):
- le numérateur devient r[exp(ia')+exp(ia)] ce qui va bien
- le dénominateur devient exp(ia)*exp(ia') + r² .......

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

z.z'<>-1

Qu'est ce que tu veux dire ?

[Jon83]

le produit z.z' est différent de -1 (sinon le dénominateur 1+z.z' s'annule)

[inviteec33ac08]

Et as tu essayé de multiplier par le conjugué de 1+z*z' (c'est à dire 1+conj(z)+conj(z')) en haut et en bas de telle manière à avoir la forme du complexe sous forme algébrique ? Puis en utilisant z*conj(z)=|z|² sa devrait marcher normalement car tu n'a plus qu'a étudier le numérateur (le dénominateur étant forcémément réel car c'est le module de 1+z*z')

[Jon83]

Oui, mais je tombe sur une expression du numérateur inextricable!!!
J'ai fait une vérification numérique avec z=1+2*i, z'=2+i => |z|=|z'|=sqrt(5), et je trouve (9/13)+(6/13)*i qui n'a rien de réel.....
Donc, soit je fais une erreur grossière quelque part et que je ne vois pas, soit l'énoncé est erroné ?????

[Jon83]

coquille: le résultat de l'application numérique est (9/13)-(6/13)*i

[invitefee9b333]

oui je crois qu'effectivement ton enoncé à l'air d'être faux , sinon essaie la méthode qui consiste à prouver que la partie imaginaire est nulle : tu met le complexe Z=z+z'... sous forme trigonométrique , puis avec tu multiplie par le conjugué de 1+zz' en haut et en bas et tu vois si en mettant de la forme i(..A...) + (.B..) tu as A nul , mais bon comme l'énoncé semble faux...

[Jon83]

En fait, mes calculs précédent m'amènent à penser que le rapport ne peut être réel que si |z|=|z'|=1 ????
L'énoncé semble donc incomplet ???

[inviteb9469e86]

Bonjour,

Je note z* le conjugué de z
| z | = 1 donc z z* = 1
idem pour z' donc en remplaçant z par 1/z* et z' par 1/z'* dans (z + z')/(1 + z z') on obtient que (z + z')/(1 + z z') = (z* + z'*)/(1 + z* z'*) donc (z + z')/(1 + z z') est réel si z z' est différent de - 1