construire un triangle

[Eurole]

on va y arriver

Bonjour à tous.
Je ne suis pas géométriquement.
J'ai trouvé - comme Ritoul - une solution algébrique à partir des formules de surface base*hauteur qui permet d'obtenir un triangle semblable puis le triangle réel.

Géométriquement c'est compliqué à ce niveau.
Il n'est pas exact que deux hauteurs sont suffisantes.

Pour arriver il faudrait partir; je propose de modifier ainsi l'énoncé initial:
Construire un triangle ABC dont les trois hauteurs sont connues
AH1=7cm
BH2=9 cm
CH3=11 cm



-----

[xxxxxxxx]

Pour arriver il faudrait partir; je propose de modifier ainsi l'énoncé initial:
Construire un triangle ABC dont les trois hauteurs sont connues
AH1=7cm
BH2=9 cm
CH3=11 cm

bonjour,

comme je te l'expliquais plus haut , si je ne me trompe pas h1, h2 et h3 doivent être cohrents pour détermminer un orthocentre.

j'ai essayé avec les valeurs que tu propose et c'est impossible me semble t'il

aussi je te propose un autre énoncé tu trace un triangle, tu trace et mesure les hauteurs. tu nous les indiques et à partir de là on doit retrouver AB BC et AC de ton triangle. ainsi tu auras en permanence un moyen de vérifier . après on voit si la construction marche pour d'autres triangles.

cordialement

[xxxxxxxx]

Bonjour à tous.
Je ne suis pas géométriquement.
J'ai trouvé - comme Ritoul - une solution algébrique à partir des formules de surface base*hauteur qui permet d'obtenir un triangle semblable puis le triangle réel.

Géométriquement c'est compliqué à ce niveau.
Il n'est pas exact que deux hauteurs sont suffisantes.

Pour arriver il faudrait partir; je propose de modifier ainsi l'énoncé initial:
Construire un triangle ABC dont les trois hauteurs sont connues
AH1=7cm
BH2=9 cm
CH3=11 cm

quelles seraient les longueurs AB , BC et CA selon ta solution algébrique ?

[Eurole]

quelles seraient les longueurs AB , BC et CA selon ta solution algébrique ?

Ritoul a évoqué cette solution dans le message 4.
Je lui laisse la main s'il veut la développer.

Sinon on verra. Je ne suis pas sûr qu'il existe une solution avec les 3hauteurs que j'ai chiffrées au hasard.

[Eurole]

Re.
Ainsi que Ritoul l’a indiqué et justifié, on peut écrire l’égalité :
7 BC = 9 AC = 11 AB
Ou
BC = 9/7 AC = 11/7 AB
Cette formule donne les rapports des triangles semblables à celui recherché.

Supposons BC = 20
AC = 15,5..
AB = 12,7..
Ce qui permet de tracer à la règle et au compas le triangle ABC.

De A traçons AH1 = 7 cm, perpendiculaire à BC.
Puis une droite parallèle à BC, passant par H1, coupant AC en C’ et AB en B’

AB’C’ est le triangle recherché.

Cette méthode a ses limites.

[xxxxxxxx]

Re.
Ainsi que Ritoul l’a indiqué et justifié, on peut écrire l’égalité :
7 BC = 9 AC = 11 AB
Ou
BC = 9/7 AC = 11/7 AB
Cette formule donne les rapports des triangles semblables à celui recherché.

Supposons BC = 20
AC = 15,5..
AB = 12,7..
Ce qui permet de tracer à la règle et au compas le triangle ABC.

De A traçons AH1 = 7 cm, perpendiculaire à BC.
Puis une droite parallèle à BC, passant par H1, coupant AC en C’ et AB en B’

AB’C’ est le triangle recherché.

Cette méthode a ses limites.

oui. tu trouves par le calcul la construction du cas particulier du triangle rectangle mais pas le cas général

[invite92f44174]

Bonjour

Si S est la surface du triangle, on a :
a= 2S/h1, b=2S/h2 et c= 2S/h3.
Pour que le triangle existe, il faut et il suffit que:
a<b+c, b<c+a et c<a+b; ce qui donne 3 inégalités:
1/h1 < 1/h2 + 1/h3 etc... obtenues par permutation circulaire sur les hi.

Ce qui est le cas pour 7,9 et 11.
Maintenant , a, b et c sont proportionnels respectivement à 1/h1, 1/h2 et 1/h3.
Il suffit de construire trois segment de longueurs inverses à h1,h2 et h3.

A+

[xxxxxxxx]

Bonjour

Si S est la surface du triangle, on a :
a= 2S/h1, b=2S/h2 et c= 2S/h3.
Pour que le triangle existe, il faut et il suffit que:
a<b+c, b<c+a et c<a+b; ce qui donne 3 inégalités:
1/h1 < 1/h2 + 1/h3 etc... obtenues par permutation circulaire sur les hi.

Ce qui est le cas pour 7,9 et 11.
Maintenant , a, b et c sont proportionnels respectivement à 1/h1, 1/h2 et 1/h3.
Il suffit de construire trois segment de longueurs inverses à h1,h2 et h3.

A+

oki le raisonnement est correct. je m'étais donc trompé en disant qu'il ny avait pas de solutions.


ce qui nous donne en valeurs pour AB, BC et AC ?

[Eurole]

oui. tu trouves par le calcul la construction du cas particulier du triangle rectangle mais pas le cas général

Non.
Le hasard a fait que j'ai choisi des hauteurs proches de celles d'un triangle rectangle.
Mais c'est valable en général, sous réserve de la régle qu'un côté doit être inférieur à la somme des deux autres.

[xxxxxxxx]

oki le raisonnement est correct. je m'étais donc trompé en disant qu'il ny avait pas de solutions.


ce qui nous donne en valeurs pour AB, BC et AC ?

mis a part le cas du triangle rectangle ?

[xxxxxxxx]

Non.
Le hasard a fait que j'ai choisi des hauteurs proches de celles d'un triangle rectangle.
Mais c'est valable en général, sous réserve de la régle qu'un côté doit être inférieur à la somme des deux autres.

franchement y a des jours où je suis idiot :

la somme des angles d'un triangle fait toujours 180°

moralité : on aura toujours des triangles rectangles de sommet = au point Mhi tel que hi soit la plus petite des valeurs h1, h2, h3.

[invite92f44174]

bonsoir

Pour calculer AB, BC et CA, il faut montrer que a, b et c sont proportionnels à
h2h3, h3h1 et h2h1. Puis, on utilise la formule de Héron.

A+

[xxxxxxxx]

bonsoir

Pour calculer AB, BC et CA, il faut montrer que a, b et c sont proportionnels à
h2h3, h3h1 et h2h1. Puis, on utilise la formule de Héron.

A+

bonsoir,

alors là, je ne comprends pas du tout ton raisonnement.

tu peux donner un exemple chiffré s'il te plait ?

[invite92f44174]

bsr

oui ah1 =bh2=ch3=2S en divisant par h1h2h3, on obtient:
a/h2h3 = b/h1h3 = c/h1h2 = 2S/h1h2h3 = k

Puis en remplaçant a,b et c dans la formule de Héron, tu vas obtenir k puis a,b et c en fonction des hauteurs.

cqfd

A+

[xxxxxxxx]

bsr

oui ah1 =bh2=ch3=2S en divisant par h1h2h3, on obtient:
a/h2h3 = b/h1h3 = c/h1h2 = 2S/h1h2h3 = k

Puis en remplaçant a,b et c dans la formule de Héron, tu vas obtenir k puis a,b et c en fonction des hauteurs.

cqfd

A+

cqfd... je veux bien mais j'ai toujours pas mon exemple chiffré qui me montre que ça marche

ps : j'ai toujours rien compris et j'en arrive à me demander si par hasard tu aurais zappé que le le s de la formule de héron est le demi périmètre et non la surface

[Eurole]

...j'ai toujours pas mon exemple chiffré qui me montre que ça marche ...

Bonjour à tous.
Je reviens à mon triangle du message 35.
Il lui manque une clé, la hauteur AH du triangle ABC, qui donnera le rapport de similitude .
Cette hauteur peut être obtenue par la surface de ABC.
Surface calculable, selon la formule de Héron d’Alexandrie, sur la moitié p du périmètre et les longueurs a, b, c des côtés.
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Heron.html



a = 20
b = 12,7
c = 15,5
p = (20 + 12,7 + 15,5)/2 = 24,1
Soit une aire A = 98,4
Cette surface est égale à ½ BC.AH d’où
AH = 98,4/20*2 = 9,84

Le rapport de similitude entre le triangle AB’C’ recherché et ABC est de 7/9,84 =0,71

AB’ = 12.7 * 0,71 = 9.02
B’C’ = 20 * 0,71 = 14,2
AC’ = 11,..

C’est en effet presque un triangle rectangle.

Cqfd ?

[invite92f44174]

Salut 8X

Tu prends h1=5, h2=2 et h3=3. Tu calcules a,b et c en fonction de k (cf.ci-dessus).
Tu remplaces a, b, c et S = kh1h2h3/2 dans la formule de Héron:

S= racine carrée ( p(p-a)(p-b)(p-c)), p étant le demi-périmètre du triangle.

tu obtiens k, a,b,c et S.

Tu peux enfin construire ABC

A+

[xxxxxxxx]

Salut 8X

Tu prends h1=5, h2=2 et h3=3. Tu calcules a,b et c en fonction de k (cf.ci-dessus).
Tu remplaces a, b, c et S = kh1h2h3/2 dans la formule de Héron:

S= racine carrée ( p(p-a)(p-b)(p-c)), p étant le demi-périmètre du triangle.

tu obtiens k, a,b,c et S.

Tu peux enfin construire ABC

A+

Bonsoir yifuming,

je désepère un peu car je ne comprends toujours pas

cependant avec les valeurs que tu donnes avec ma méthode et sans faire le calcul j'arrive à construire l'obtuangle : 4.1 cm, 6.7 cm, 10 cm

cordialement

[invite92f44174]

Re bonsoir
Tu peux remarquer que le problème, dans ce cas a au moins une solution.
voyons :5a=2b=3c=2S donc a/6=b/15=c/10=2S/30=S/15=k en divisant par 5*2*3.
Donc a=6k, b=15k,c=10k et S=15k.

Tu peux donc maintenant construire un triangle A'B'C' semblable à ABC de côté 6, 15 et 10 et enfin , grâce à une hauteur donnée, un triangle ABC.

Maintenant, avec la formule de Héron, tu calcules toutes les valeurs inconnues.

Ok?

Bye

[xxxxxxxx]

Bonjour à tous.
Je reviens à mon triangle du message 35.
Il lui manque une clé, la hauteur AH du triangle ABC, qui donnera le rapport de similitude .
Cette hauteur peut être obtenue par la surface de ABC.
Surface calculable, selon la formule de Héron d’Alexandrie, sur la moitié p du périmètre et les longueurs a, b, c des côtés.
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Heron.html



a = 20
b = 12,7
c = 15,5
p = (20 + 12,7 + 15,5)/2 = 24,1
Soit une aire A = 98,4
Cette surface est égale à ½ BC.AH d’où
AH = 98,4/20*2 = 9,84

Le rapport de similitude entre le triangle AB’C’ recherché et ABC est de 7/9,84 =0,71

AB’ = 12.7 * 0,71 = 9.02
B’C’ = 20 * 0,71 = 14,2
AC’ = 11,..

C’est en effet presque un triangle rectangle.

Cqfd ?

oui un énorme merci

cela me sera utile

[Eurole]

on pourrait en faire une base de calcul Excel.

Qu'en pensez-vous ?

[Eurole]

Bonsoir.
Il n’est plus possible de joindre un fichier Excel.
Vous pouvez essayer ici :
http://eurole.voila.net/TriangleHauteurs.xls