[TS] -> Dérivation

[invite5f8b4c27]

Voilà j'ai un DM sur la dérivation, mais j'ai beau chercher dans mes cours je trouve pas comment faire ce DM

Si vous pouviez m'aider ce serait sympa

1) Soit une fonction définie par : f(x) = -4x^3 + 6x² -6x +2

a- Etudier le sens de variation de f sur R.
Là j'ai trouvé que f'(x) = -144, donc que f est strictement négatif sur R.

b- Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur R.
Là je ne sais pas comment faire, j'ai calculé la forme canonique de f'(x) et je trouve -12 [ (x-1/2)² - (1/4) ]. Mais après je sais pas comment faire pour trouver le nombre de solutions

c- En utilisant la calculatrice, déterminer la (ou les) solutions(s) de cette équation.
Je ne sais pas non plus comme faire (J'ai une Ti-82)

d- Déduire des questions précédentes le signe de f sur R.

2) Soit g définie sur R par g(x) = -x^4 + 2x^3 - 3x² + 2x

a- En utilisant la question 1), déterminer le sens de variation de g.

b- En déduire que pour tout x de R, g(x) < (ou égal) 7/16.


Je vous demande pas les réponses sinon ce serait trop facile, mais juste des explications sur comment faire !
Merci beaucoup
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

En effet il y a des trucs à revoir, et ce dès la première question. Comment fais tu pour trouver f'(x)=-144?

Et sais tu seulement ce qu'est une dérivée, et à quoi elle sert?

[invite844a201d]

soyons gentil enfin!
je comprends pas que tu puisse dire à la question 1) "je trouve -144 pour f'(x) et dire à la 2) j'ai canonisé f'(x) en tel machin compliqué ac du x.

Donc petit rappel: quand on dérive a*xⁿ on a a*n*x^n-1 et les constantes (ton +2 dans ton polynome) ca disparait.
Après tu dois étudier le signe de f' (en utilisant ta forme canonique si tu veux) pour determiner les variations de f.
si f' est positive f croit, si f' négative f décroit.
quand tu auras fait le tableau de variation de f tu auras les maximus et minimum (quand f'(x)=0 et que f' change de signe) et tu trouveras combien de fois f s'annule, sans necessairement trouver précisement ou elle s'annule

[invitee4ef379f]

Je n'essayais pas de rabaisser Thomas59430, mais d'estimer son niveau pour pouvoir ensuite répondre de manière adaptée.

Je ne suis en général pas méchant dans mes réponses

Bonne continuation!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f8b4c27]

Pour la dérivée je fais :

f(x) = -4x^3 + 6x² - 6x + 2
f'(x) = -12x² + 12x - 6
Delta = b² - 4ac = 12² - 4 x (-12) x (-6) = -144


( Désolé pour la première réponse je l'ai mal formulé )

[invitee4ef379f]

Bine ta dérivée est bonne, c'est la suite qui ne va pas.

Une fois que tu as la dérivée, tu cherches son signe pour en déduire les variations de la fonction.

Ici la dérivée est un trinôme: en toute logique tu calcules son discriminant. Attention cependant, le signe d'un trinôme n'est pas donné par celui de son discriminant! Et le signe de la fonction n'est pas non plus donné par le signe de la dérivée! Comment trouver le signe d'un trinôme?

[invite2ca0cfba]

Dans ce cas c'est assez simple, si delta est négatif c'est qu'il n'y a pas de solutions pour f'(x) = 0 et donc soit la fonction est strictement positive soit strictement négative sur R... à toi de le trouver maintenant.

[invite5f8b4c27]

Pour trouver le signe d'une dérivée avec un discriminant négatif comme ici, il faut que je fais un tableau de variation, f'(x) sera strictement négatif ou positif et cela dépend de a, càd -12 ?

Donc si c'est bien cela la fonction est strictement négative sur R

[invitee4ef379f]

En effet:

Soit une fonction f(x), et soit sa dérivée f'(x).

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction!

La dérivée est ici un trinôme, donc il faut que tu trouves le signe du trinôme, lequel est bien donné par le signe du coefficient du terme au carré puisque son discriminant est nul.

Mes questions son: quel est le signe de f'? Comment varie f?


En aucun cas ce genre de raisonnement ne peut te mener au signe de f!!!

[invite5f8b4c27]

Le signe de f' est négatif, car a est négatif (= -12) ?
Donc f est décroissant sur R.

Et tu as dis que y avait beaucoup de choses à revoir, donc pour la b) aussi je n'ai pas la bonne méthode ? Car j'ai vu sur internet que pour trouver le nb de solutions de l'équation f(x) = 0 il fallait faire la forme canonique, mais aussi juste remplacer x par 0 ! Alors je ne sais pas quoi faire, et de même pour toutes les autres questions ... Je demande juste (si ce n'est pas trop demander) la méthode pour ces questions, comme ça je pourrais jamais plus me tromper

En tout cas merci infiniment pour l'aide que tu m'as apporté

[invitee4ef379f]

En effet f' est négative donc f est décroissante sur R.

Maintenant tu devrais faire un ptit tableau de variations de ta fonction, avec les limites en + et -, et utiliser un sympathique petit théorême dit "des valeurs intermédiaires" pour répondre à ta question 2.

[invite5f8b4c27]

Mon tableau est fait, merci beaucoup

Oula, je n'ai jamais entendu parler de ton théorême des valeurs intermédiaires ... J'ai l'impression de ne pas avoir tout vu en 1S.

[invitee4ef379f]

Eh bien quelle sont les limites de f aux infinis?

[invite5f8b4c27]

Aucune idée :s

[invitee4ef379f]

Si tu as fait ton tableau de variations, elles doivent y figurer. Sinon ton tableau est incomplet. Enfin, une fois que tu les auras trouvées, en combinant ça avec le fait que ta fonction est toujours décroissante, tu trouveras le nombre de solutions à l'équation f(x)=0 (c'est de la logique).

Bon courage!

[invite5f8b4c27]

J'ai fais mon tableau de variations, mais comme elle est strictement décroissante je ne sais pas où placer 0. Mais à la calculatrice j'ai fais la courbe de f(x), et je vois qu'il n'y a qu'une seule solution à l'équation f(x) = 0, c'est 0.5 car elle coupe l'axe des abscisses en 0.5.

Est-ce ça ?

[invitee4ef379f]

Bah certainement, je ne l'ai pas tracée. Cependant l'argument "c'est sur la calculatrice" ne tient pas devant un prof.

La seule manière propre de justifier c'est de calculer les limites aux infinis, de dire que ta fonction est toujours décroissante et de conclure sur le nombres d'antécédents à 0 par la fonction f.

Bon courage!

[invite5f8b4c27]

Alors là je sais pas trop ce que tu veux dire.

Depuis tout à l'heure je cherche, je me lance :

Je fais la limite en +∞ de f(x) et je trouve -∞
Je fais la limite en -∞ de f(x) et je trouve -∞

Mais après pour trouver 0.5 je fais comment ?

[invitee4ef379f]

C'est que la limite en - est +. L'autre est bonne. Du coup comme la fonction est décroissante (et continue), il faut bien qu'à un moment donné elle coupe l'axe des abscisses, et elle ne le coupera qu'une seule fois (c'est l'application du théorême des valeurs intermédiaires); l'équation f(x)=0 admet donc une unique solution sur R.

Pour trouver 0.5 par contre là il faut utiliser la caltoche, comme précisé dans la question suivante.

[invite5f8b4c27]

Merci beaucoup
Donc d'après les questions précédentes, f est négatif sur R

[invitee4ef379f]

Bah non. f est négative quand f(x) < 0. Sur quel intervalle cela est-il vrai?

[invite5f8b4c27]

f est négatif sur l'intervalle [-∞;+∞] ?