Dm sur les suites TS

[invitecbdf3b76]

Bonjour à tous,
Alors voilà j'ai un petit problème avec mon dm :

On considère la suite (Un) définie par U₀=-1 et
U_n+1=(3+2U_n)/(2+U_n)

1/Calculer les 4 premiers termes.
2/Démontrer que pour tout n appartenant à N*, U_n≥
En déduire que la suite (U_n) est bien définie sur N
3/Démontrer qu la suite (U_n) est majorée par √3.
4/Déterminer le sens de variation de la suite (U_n).
5/On considère la suite (V_n) définie par : pour tout n appartenant N, V_n=(U_n-√3)/(U_n+√3)
a) Montrer que la suite (V_n) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b) En déduire l'expression de V_n, puis celle de U_n en fonction de n
c) Calculer la limite de V_n et en déduire celle de U_n

Donc j'ai presque tout fait :
1/réussi
2/réussi ( récurrence )
3/ réussi (récurrence )
4/ réussi ( récurrence )
5/a) donc pour montrer que c'est une suite géométriqe il faut calculer V_n+1. Je trouve après les calculs

V_n+1= [(U_n-√3)(2-√3)]/[(U_n+√3)(2+√3)
Ce qui voudrai dire que V_n+1=[(2-√3)/(2+√3)]*V_n

Je me demande si c'est bon car je trouve que ça fait un peu bizarre.

Voilà merci de m'avoir lu

PS :C'est mon premier message sur le forum donc désoler pour les racines j'ai pas trouver j'ai pris celle de word.
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[pi-r2]

Je me demande si c'est bon car je trouve que ça fait un peu bizarre.

Je n'ai pas vérifié tes calculs mais l'expression:

(2-√3)/(2+√3)
se simplifie en multipliant numérateur et dénominateur par (2-√3).
C'est magique.

[Jon83]

Bonjour!
Oui, c'est correct: V(n) est une suite géométrique de raison (2-√3)/(2+√3).
Tu peux continuer!

[invitecbdf3b76]

Merci pour vos réponses,
Donc j'obtiens : V_n=[-1/(2-√3)]*(7-4√3)ⁿ
et ensuite c'est bon j'ai réussi.

Merci à vous .

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbdf3b76]

Finalement j'ai un petit problème pour u_n.

Pour trouver u_n en fonction de n j'utilise v_n=(u_n-√3)/(u_n+√3).
Après les calculs j'arrive à u_n=(-√3v_n-√3)/(v_n-1)
Et là je ne sais pas comment faire parce que remplacer v_n ne m'aide pas.

Merci d'avance

[pi-r2]

je ne suis pas sur que tu puisses simplifier plus. Tu remplace vn par son expression en en et tu as l'expression de un directement en fonction de n.

[invitecbdf3b76]

Ok merci don't c'est bon maintenant reste le c) :

et là je vois pas du tout comment faire ! On démontre que c'est une suite convergente et ensuite on dit que lim v_n= L ?

[pi-r2]

vn est une suite géométrique donc si elle a une limite c'est quoi et on le sait comment ?

[invitecbdf3b76]

J'ai fait en calculant u_n en premier et j'ai trouvé √3 et pour v_n 0.

C'est bon ?

[pi-r2]

oui ça m'a l'air correct