Nombres complexes

[invitef909c11c]

Bonjour à tous.
Tout d'abord je souhaite vous posez mon problème.
Cela va faire plusieurs heures que je planche sur les nombres complexes et me voilà bloqué avec un exercice qui a pourtant l'air tout simple..
Voici l'énoncé :

I) Résoudre dans l'ensemble des complexes :
1)z²+z+1=0
2)z²+5=0
3)z²+(1+i)z+i/2=0

M'étant mis dessus il y a quelques minutes, j'ai trouvé ça :

1) z²+z+1=0
Delta = b² - 4ac
Avec a=1, b=1 et c=1
D'où : Delta = 1-4 = -3
Delta < 0 d'où il existe deux solutions :

x' = -b + i racine de -delta / 2a

x'' = -b - i racine de -delta / 2a

On sait que racine de - delta = racine de valeur absolue de delta.

D'où : z1 = 1+ i racine de 3 / 2 ET z2 = 1 - i racine de 3 / 2



2) z²+5=0
Delta = b²-4ac avec a=1, b=0, c=5
Delta = -4(1)(5)
Delta = -20

D'où ( comme pour le 1), deux solutions : )

x' = -b + i racine de -delta / 2a

x'' = -b - i racine de -delta / 2a

On sait que racine de - delta = racine de valeur absolue de delta.

d'où : z1 = i racine de 20 / 2 ET z2 = - i racine de 20 / 2

[ Je ne suis pas sûr du tout de mon résultat pour le 2).. ]

Et voilà où je bloque :

3) z²+(1+i)z+i/2 = 0
Pour moi, cela fait aucun doute que c'est une équation du second degré mais qui n'est plus a coefficients réels. Et c'est donc ici que je bloque.
Si j'essaye d'utiliser Delta, cela me donnerais des i dans le resultat..
Ce que j'ai écrit avant de rayer :
Delta b²-4ac avec a=1, b=1+i, c=i/2

D'où delta : (1+i)² - 4 (1)(i/2)

Et je bloque ici.. Quelqu'un saurait m'aider..?
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[Jon83]

Bonjour à tous.

3) z²+(1+i)z+i/2 = 0
Pour moi, cela fait aucun doute que c'est une équation du second degré mais qui n'est plus a coefficients réels. Et c'est donc ici que je bloque.
Si j'essaye d'utiliser Delta, cela me donnerais des i dans le resultat..
Ce que j'ai écrit avant de rayer :
Delta b²-4ac avec a=1, b=1+i, c=i/2

D'où delta : (1+i)² - 4 (1)(i/2)

Et je bloque ici.. Quelqu'un saurait m'aider..?

Bonjour!
Essaye au moins de développer delta et de simplifier; tu verras ensuite si tu bloques ou pas...

[invitef909c11c]

D'accord.. Bien que j'imaginais déjà la catastrophe avant de le faire, voici mon résultat pour Delta :

Delta = (1+i)²-4(1)(i/2)
Delta = 1²+2i+i²-4(1)(i/2)
Delta = 1 + 2i - 1 - 4i/8
Delta = 2i- 2i/4

Avec Delta = 2i - 2i/4 en résultat final je ne vois pas comment avancer..
Mon Delta n'a jamais contenu de nombre imaginaire. Comment savoir si Delta est inférieur, supérieur ou égal à 0 avec cette relation.. ? Ou alors, où est mon(sont mes) erreur(s) ?

[Jon83]

Vérifie tes calculs!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

D'accord.. Bien que j'imaginais déjà la catastrophe avant de le faire, voici mon résultat pour Delta :

Delta = (1+i)²-4(1)(i/2)
Delta = 1²+2i+i²-4(1)(i/2)
Delta = 1 + 2i - 1 - 4i/8
Delta = 2i- 2i/4

Avec Delta = 2i - 2i/4 en résultat final je ne vois pas comment avancer..
Mon Delta n'a jamais contenu de nombre imaginaire. Comment savoir si Delta est inférieur, supérieur ou égal à 0 avec cette relation.. ? Ou alors, où est mon(sont mes) erreur(s) ?

Il ne faut pas avoir peur des nombres imaginaires ! Si ton delta en contient (ce que je n'ai pas vérifié) il faut faire avec.
Maintenant, quand on travaille avec les complexes on ne se préoccupe pas de savoir si delta positif, négatif ou nul. On doit de toutes façons trouver deux racines, réelles ou complexes, distinctes ou confondues.

[pallas]

pour z²+5+0 Il suffit de faire z²=-5=5i² d'où les solutions irac(5) ou -irac(5)

[pallas]

saches que k(a/b = ka/b ainsi 4(y/2)= 4y/2=2y !! cela simplifie le delta