Dm de Ts: Les suites sous formes d'un problème

[invite4064df27]

bonjour,
Voici l'énoncé du problème qui paraît simple du premier coup d'oeil mais qui ne l'est pas

Le professeur mégot a décidé augmenter sa consommation de gin. Il achète 200 bouteilles, et chaque mois il consomme un quart de sa réserve, puis il rachète 10 bouteilles.
On appelle Un, le nombre de bouteilles en réserve au bout de n mois
(U0=200)

1-Montrer que pour tout entier naturel n, Un+1=3/4Un+10.
Calculer U1 et U2
J'ai réussi et j'ai trouvé U1=160 ; U2=130

2-On pose pour tout entier entier naturel n: Vn=Un-40. Quelle est la nature de la suite (Vn)?
1- Vn+1=Un+1-40
2- Vn+1=(3/4)Un-30
3- Un=Vn+40
4- Vn+1=(3/4)Vn

Donc cette suite est géométrique est raison q=3/4

Il me reste la question,
3-Quelle sera, à terme, la consommation mensuelle de mégot ? Au bout de combien de mois sera-t-elle inférieur à 12 bouteilles ?

La consommation mensuel de mr megot est représentée par Cn=1/4.Un ,
il faut donc dabord determiner Vn en fonction de n pour

obtenir Un, soit Vn=(3/4)^n.Vo et donc Un=Vn+40=(3/4)^n.Vo+40

et Cn=1/4(3/4)^n.Vo+40)
Cn=(3/16)^n.V0+40
Puis en utilisant les limite j'ai trouvée

Lim(n tend vers + infini) Cn=10

Il me reste: Au bout de combien de mois sera-t-elle inférieur à 12 bouteilles ?
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[pi-r2]

il te faut trouver le plus grand n tel que Un>12 et la réponse est n+1 (ou le plus petit n tel que Un<12)
Donc "résoudre" Un=12 et si le n trouvé n'est pas un entier, prendre l'entier immédiatement supérieur

[invite4064df27]

merci
je trouve:

Pour tout entier naturel n, Un=12
Vn+40=12
Vn=-28
(3/4)^n.V0=-28 avec V0=160
(3^n.160/4^n)=-28

Puis à partir d'ici je bloque merci de m'aidez ca devient urgent!

[pi-r2]

désolé , je t'ai induit en erreur ce n'est pas Un <12 c'est Cn (donc 4Un), Un <48
ce qui donne Vn<8

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4064df27]

Merci,

J'avais bien mis Un>48