Spé Maths : Critère de divisibilité par 12 pour un nombre écrit en base 12

[invite1edb51a7]

Bonjour, j'ai du mal à répondre à une question d'un exercice :

Un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12
N = a_n...a₁a₀ avec a représentant un chiffre (ce n'est pas une multiplication)

Enoncer et démontrer un critère de divisibilité par 12 pour un nombre écrit en base 12.

Je sais qu'un nombre est divisible par 12 en base 10 lorsqu'il est divisible par 3 et par 4, mais je ne sais pas comment savoir qu'un nombre est divisible par 12 en base de 12 ...

J'ai essayé avec des exemples, mais je n'arrive pas à trouver

Merci d'avance de l'aide que vous pourriez m'apporter
-----

[Médiat]

Comment écrire par une opération mathématique que "N = an...a1a0" (en base 12) ?

[invite1edb51a7]

La question c'est : "énoncer et démontrer un critère de divisibilité par 12 pour un nombre écrit en base 12"
Il doit falloir donner une propriété qui dise lorsqu'un nombre est divisible par 12 en base 12 et ensuite démontrer cette propriété mais je ne connais pas la propriété pour un nombre écrit en base 12, donc je vois encore moins comment la démontrer.

Le N = an..a1a0 c'est pour dire la forme dans laquelle est le nombre
Par exemple N=3a0

[Médiat]

La question que je vous pose est comment écrire N=3a0 (base 12), en utilisant les opérations usuelles (addition, multiplication, exponentiation), c'est à dire que je vous demande quelle est la définition de la numération de position.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1edb51a7]

A OK merci de votre aide
Alors :
N = a_n * 12ⁿ + ... + a₁ * 12 + a₀
C'est cela ?

[Médiat]

Oui, et maintenant, il est très facile de voir qu'une partie de cette somme est toujours divisible par 12, par conséquent pour que N soit divisible par 12 il faut que l'autre partie soit divisible par 12.

[invite1edb51a7]

Donc il suffit que a0 soit divisible par 12 pour que le nombre soit divisible par 12 ?

Mais a0 est compris entre 0 et 11 vu que c'est écrit en base 12. Donc je ne vois toujours pas x(

[Médiat]

Donc il suffit que a0 soit divisible par 12 pour que le nombre soit divisible par 12 ?

Oui

Mais a0 est compris entre 0 et 11 vu que c'est écrit en base 12. Donc je ne vois toujours pas x(

Vous ne voyez aucun nombre compris entre 0 et 11 qui soit divisible par 12

[invite1edb51a7]

Ah mais si 0 !
Oui c'est vrai ! En plus tous les exemples que j'avais pris finissais bien par 0 mais je n'ai pas fais attention
Donc un nombre écrit en base 12 est divisible par 12 si le dernier chiffre qui le compose est "0"

[Médiat]

Et la démonstration qu'un nombre N est divisible par k si et seulement si N se termine par 0 dans la numération en base k, est exactement la même.

[invite1edb51a7]

OK
Merci beaucoup

[invite7737486d]

Bonjour!
En fait j'ai le même problèmes que Physicx mais je ne comprends pas comment démontrer ce critère!
J'ai mis: somme de a0+a1*10+...+an*10^n=ai*10^i+a 0
Mais a vrai dire je ne comprends pas pas moi même pourquoi j'ai mis ça!
S'il vous plaît aidez moi!
Je vous remercie d'avance!

[invite7737486d]

J'ai relu vos réponses et j'ai trouvé ceci:
Pour un nombre écrit en base 12
Si un nombre se termine par 0 alors il est divisible par 12
Démonstration:
Nous avons: an*12^n+...+a1*12+a0 [qui divise 12 et a0 toujours égale à 0]
Je ne sais pas si c'est vrai ou pas mais j'éspères que ce raisonnement tient la route!